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电子科技大学通信学院 电子科技大学通信学院 随机信号分析 第1章 概率论基础 本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如： 1) 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数， 2) 随机变量的条件数学期望 3) 特征函数 4) 瑞利与莱斯分布 1.1 概率公理与随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4.2 矩与联合矩 1.4 .4 条件数学期望 性质： 协方差 随机变量的标准差: 均方值 (3) 相关矩 relation 记为： (4) 协方差矩 Covariance 记为： 有： (5) 相关系数 的数值越大，随机变量 和 越相关，相关表示两个R.V. X 、Y 的线性关联程度 表示X和Y是线性相关的 表示X和Y是彼此无关的 0ρ≤1 ， 正相关 －1 ≤ρ0 ， 负相关 讨论： 的关系 三者都用于表示 R.V. X 、Y 的关联程度 包含均值、方差对关联程度的影响。 包含离散程度对关联程度的影响 消除了均值、方差对关联程度的影响，因而单纯地反映了R.V. X 、Y 的相关性 1.4.3 独立、无关、正交 (1) 无关 或 对于 R.V.X ,Y (2) 正交 或 不相关 独立 无关 正交 任一随机变量 均值为0 正态分布除外 (3) 独立、无关、正交 的关系 一般情况 高斯（正态）随机变量 无关 独立 零均值高斯（正态）随机变量 独立 正交 无关 作业：1.14 1. 二维随机变量 (X,Y)及其分布 联合概率分布函数 ： 联合概率密度函数 ： 性质： ，且 F(x,y) 是 x 或 y 的单调增函数 令： ，有 6) 边缘分布 边缘分布函数： 边缘概率密度： 2. n维随机变量及其分布 设有n维随机变量 n维（联合）分布函数为: n维（联合）密度函数为： 高维概率密度可通过积分降低维数，设已知n维随机变量的n维联合概率密度， ，有 当 m n 例1.5 某电子系统有部件A1和A2 , 状态：normal与false， 随机变量X1和X2 ： 求： (1)系统工作情况的样本空间和随机向量(X1,X2)的联合状态空间 (2) A1和A2 独立时，计算(X1,X2)的概率密度函数 X1和X2的联合状态空间 解: (1)系统状况的样本空间 A1和A2 独立时，取值概率： 的概率密度函数 作业：1.9 1.11 1. 随机变量与多维随机变量的条件事件 1.2.2 条件随机变量 如： 点条件 2. 条件随机变量的概率分布、密度函数 类似概率的乘法规则 1.2.3 独立性 R.V. X1,X2,…,Xn 相互独立： 例1.8 二维R.V. 求: (1) ； (2) 讨论 X 与 Y 之间的独立性。 解: (1) (2) X 与 Y 独立的充要条件： 高斯R.V.之间，互不相关和统计独立等价 1.3.1 一元函数 一元函数 的概率特性： 函数形如 或 构成从样本空间到实数域的复合映射，导致新的随机变量。 定理1.1: 已知R.V.X 的 , 现有R.V. 。 设X与Y之间的关系是单调的，并且存在反函数，即 ， 若反函数的导数 h′(Y) 也存在，则 B为Y的值域 对于连续型随机变量，则有: 证：当X与Y之间是单调增时 当X与Y之间是单调减时 例：随机信号X是均匀分布的，其概率密度函数为 ，若 ，试求 Y 的概率密度函数。 解：反函数为 , 反函数的导数为1/a 1.3.2 二元函数 二元函数： 其概率特性： 更一般地：设已知二维随机变量(X,Y)的 f (x , y)，现有 且反函数的二阶偏导存在，则 设函数映射是单调的 反函数存在 雅可比行列式 例1.13 求 Z=X+Y 的密度函数 解：定义辅助变量 U = Y , 则 积分可得： 如果X与Y独立： 例1.15 复随机变量 ，其实部与虚部独立，且 ， ，讨论振幅R与相位Θ的概率特性。 1.3.3