21.如图,抛物线焦准距（焦点到准线距离）和椭圆长.docVIP

21.如图，抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）与椭圆的长半轴相等，设椭圆的右顶点为在第一象限的交点为为坐标原点，且的面积为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线交抛物线两点，射线分别交椭圆于两点。 ①求证：点在以为直径的圆的内部； ②记的面积分别为，问是否存在直线，使得请说明理由。 4．过点的直线交椭圆于不同的两点，是弦的中点。 （1）若，求点的轨迹方程； （2）求的取值范围。 答案 （1）（）；（2） 9．已知为双曲线的上焦点，在双曲线上支上有三点，，，且成等差数列，求证： （1）是定值； （2）线段的垂直平分线经过某一定点，并求此定点坐标。 10．已知为抛物线上不同两点，且，求的取值范围。 11．已知定点，点使的最小值为1. 若在直线上运动, 动点满足，， 且的轨迹经过点（其中是直角坐标系的坐标原点）. （1）求常数的值； （2）求动点的轨迹的方程； （3）是否存在方向向量为的直线，使与曲线交于两个不同的点，且？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由. 11．解:(1)法一: | eq \o(\s\up8 (?),FG)|= eq \r((n－c)2+n2) = eq \r(2(n－ eq \f(c,2))2+ eq \f(c2,2)) , 当n = eq \f(c,2)时, | eq \o(\s\up8 (?),FG)|min= eq \r( eq \f(c2,2))=1,所c = eq \r(2). 法二:设G(x,y),则G在直线y =x上,所以| eq \o(\s\up8 (?),FG)|的最小值为点F到直线y =x的距离,即 eq \f(|c－0|, eq \r(2))=1,得c = eq \r(2). (2)∵ eq \o(\s\up8 (?),PE)= eq \o(\s\up8 (?),OF) (≠0),∴ eq \o(\s\up8 (?),PE)// eq \o(\s\up8 (?),OF)，PE垂直直线l：x = eq \f(a2,c), 又 | eq \o(\s\up8 (?),PF)| = eq \f(c,a)| eq \o(\s\up8 (?),PE)| (ac0). ∴点P在以F为右焦点,l：x = eq \f(a2,c)为右准线的椭圆上. 又∵椭圆过点B(0－1), .∴b=1，且 ∴曲线H的方程为 eq \f(x2,3)+y2=1 ( 3)假设存在方向向量为a0=(1,k)(k≠0)的直线m满足条件,则可设直线m:y=kx+m(k≠0),与椭圆 eq \f(x2,3)+y2=1联立,消去y得： (1+3k2)x2+6kmx+3m2－3=0 由判别式△0,可得m23k2+1. ① 设M(x1,y1),N(x2,y2), MN的中点P(x0,y0), 由|BM|=|BN|, 则有BP⊥MN. 由韦达定理代入kBP=－ eq \f(1,k),可得到m = eq \f(1+3k2,2) ② 联立①②,可得到 k2－10, ∵k≠0, ∴ －1k0或0k1. 即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l与曲线H交于两点M、N,且| eq \o(\s\up8 (?),BM)|=| eq \o(\s\up8 (?),BN)|.