《线段的垂直平分线》中一道题的变式.docVIP

PAGE1 / NUMPAGES4 《线段的垂直平分线》中一道题的变式 例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，BC=23，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BCE的周长. 图1 图1 图2 图2 变式1：如图2，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？ 解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°. 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2：如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =15° 求：AC的长. 图3 图3 解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1. 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质. [变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5° 求：AC的长. 图4 图4 提示与答案：△AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC= 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. （1） 求△AEN的周长. （2） 求∠EAN的度数. （3） 判断△AEN的形状. 图5 图5 解析：此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形，两腰的垂直平分线都与底边相交，（1）应用线段垂直平分线定理得出AE=BE，AN=NC，因此△AEN的周长等于BC的长.（2）应用变式1的结论∠AEN=2∠B=60°，∠ENA=2∠C=60°所以∠EAN=60°.（3）由（2）知△AEN是等边三角形. [变式练习2] 如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. 图6（1） 求△AEN的周长. 图6 （2） 求∠EAN的度数. （3） 判断△AEN的形状. 提示与答案：（1）△AEN的周长不变.（2）∠AEN=2∠B=50°，∠ENA=2∠C=50°所以∠EAN=80°（3）由（2）知△AEN是等腰三角形. [变式练习3] 如图7，在△ABC中， BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. （1） 求△AEN的周长. 图7（2） 求∠EAN的度数. 图7 提示与答案：（1）△AEN的周长不变.（2）∠AEN=2∠B，∠ENA=2∠C，因为∠B+∠C=80°所以∠AEN+∠ENA=160°所以∠EAN=20°. 点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN的形状也不断的变化，∠EAN的度数也变化，但△AEN的周长不变，因此得出结论：1）△AEN的周长=BC长.2）△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC的形状有关.3）∠EAN的度数与∠BAC的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC必须大于90°. [变式练习4] 图8如图8，△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. 图8 求:∠EAN的度数. 答案: ∠EAN=40° 点评:由上题的方法得出∠AEC+∠BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠AEB+∠CNA=360°-（2∠B+2∠C）,由三角形内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC 总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.