专题二函数图象.docVIP

第 PAGE \* MERGEFORMAT 第 PAGE \* MERGEFORMAT 3 页 函数的基本性质及其应用 一、利用函数的性质求函数的值域 1、 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；2、 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；3、 反比例函数的值域：y≠0 ；4、 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；5、 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法． 函数的单调性及应用1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，????2、 单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．[解析]：由题意可得原函数的定义域是（－１，４），???? 设u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ，?所以函数u=4+3x-x2 ，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．??? ①a＞１时，y=logau 在其定义域内为增函数， 由 x↑→u↑→y↑ ，得函数u=4+3x-x2 的单调递增区间（－１，3/2 ]， 即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间．??? ②０＜a＜１时，y=logau 在其定义域内为减函数， 由 x↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2 的单调递减区间[3/2 ，4）， 即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间．三、函数的奇偶性及应用1、 函数f(x)的定义域为D，x∈D ，f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)→是奇函数 2、 奇偶性的判定：作和差f(-x)± f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、 函数的图象关于原点对称??? 奇函数；??? 函数的图象关y轴对称??? 偶函数5、 函数既为奇函数又为偶函数?? f(x)=0,且定义域关于原点对称;6、 复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇． 2.判断函数的奇偶性： 解：当＞0时，－＜0，于是 当＜0时，－＞0，于是 综上可知， 是奇函数． 3为R上的偶函数，且当时，，则当时， x(x+1) 若f(x)是奇函数呢？ 4、已知函数是偶函数，求实数的值． 5.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］， 则a= b= 0 6.已知函数，若，求的值。  四、函数的周期性及应用1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x)??? → ?? f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 是T = 2π/|ω| ；3、 正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是 T=π/|ω| ； 4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法； 5、 一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π．例7.设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5) 　 　［解析］：由题意可知，f(2+x) = f(x) 　　 ∴　f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５ 例8.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式. . 解：设 时，有 是以2 为周期的函数，. 例9．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式. 解：当，即， 又是以2为周期的周期函数，于是当，即时， 例10.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性. 解：由的周期为4，得，由得 ，故为偶函数. 分段函数 例11．求函数的最大值. 【解析】当时, ,