2009年全国高中数学联赛试题及详细解析_图文模板.docVIP

受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。 2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。答卷时间为80分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。答卷时问为150分钟。 一 试 5.椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ．[来源:21世纪教育网] 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率[来源:21世纪教育网] 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 （14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 加试 一、填空（共小题，每小题分，共分） 如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于． ⑴求证：； ⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．求证不等式： ，，2，… 设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． ． 或 当且仅当 ① ② ③ 对③由求根公式得， ④ 或． (ⅰ)当时，由③得，所以，同为负根． 又由④知，所以原方程有一个解． (ⅱ)当时，原方程有一个解． (ⅲ)当时，由③得， 所以，同为正根，且，不合题意，舍去． 综上可得或为所求． 8.某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 27 旅客候车的分布列为 候车时间（分） 10 30 5021世纪教育网 当时等号成立．故的最小值为． 又由柯西不等式得21世纪教育网本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于． ⑴求证：； ⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，， 求证：，，，四点共圆． 【解析】⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，． 连，，则与交于，因为 ，所以．同理． 于是，． 故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）． 又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式 于是． ⑵因为， 二、求证不等式：，，2，… 三、设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． 证法一：对任意正整数，令．我们证明． 设是的任一素因子，只要证明：p． 四、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使得 ⑶． 求证： （ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列． （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表 仍然具有性质． （ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾． （ⅱ）由抽届原理知，，，中至少有两个值取在同一列．不妨设，．由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字． 下证唯一性．设有使得数表 具有性质，不失一般性，我们假定 ⑷ ． 由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者． 如果成立，由数表具有性质，则