2009年全国高中数学联赛试题及答案_图文模板.docVIP

全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 若函数且，则 ． 已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ． 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ． 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ． 椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ． 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 （14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．（15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，， (Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）； ()若，，求的前项和． （15分）求函数的最大和最小值．一、填空（共小题，每小题分，共分） 如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于． ⑴求证：； ⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，， 求证：，，，四点共圆．求证不等式： ，，2，… 设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． \ .. 20