且既有有理数也有无理数．.PPT

　　根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论． 3．分析法与综合法 　 要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2　　 这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立． 证 (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc， 只要证 ab=ac+bc 只要证 c(a+b)=ab 只要证 例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d． 证 由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0， 　　(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 　所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0． 　因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0， 所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0， 　所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0． 　又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0， 所以a＝b，c=d． 　所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 　所以a＝c．故a=b＝c=d成立． 含参数的一元二次方程的整数根问题 例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 　有两个不相等的正整数根． 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3． 用求根公式可得 由于x1，x2是正整数， 所以m-1=1，2，3，6， 　　m+1=1，2，3，4，6，12， 　　解得m=2．这时x1=6，x2=4． 例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 　　(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 　解 因为a≠0，所以 所以 　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是 完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2， 所以 (m-3)2-n2=8， (m-3＋n)(m-3-n)＝8． 　　由于m-3＋n≥m-3-n， 并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数， 所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以 例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值． 　　 　 　　 　 例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一个整数解，且a是整数，求a的值． 解：当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解． 　　当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式　Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数， 　　 　 　 　　 要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2． 要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10． 综上所述，a的值为2，-4，-10． 例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值． 解 设两个根为x1≥x2，由韦达定理得 从上面两式中消去a得　x1x2+x1+x2＝6， 所以 (x1＋1)(x2+1)=7，　　 所以a=x1x2=0或16． 例２： 化简： 　(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．　 　 　　 　 分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2， 可以看成 解 设　　 　 例３ 例４ 解 用换元法．　 　 　　　　 　 解：利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解． 将方程左端因式分解有 　　(x-4)(x2＋4x＋10)＝0． 　　因为 　　x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0， 　　所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4 例５ 例６ 解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有 两边平方得　 两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0． (x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0． 例７ 分　　式 式． 若一个分式分母的值为零，则分式无意义．当分式的分子的值为零而分母的值不为零时，分式的值为零． ２.分式的基本性质——分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 　例1 化简分式： 例２ 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求 解