人教A版必修4平面量数量积的坐标表示、模、夹角学案.docVIP

疱工巧解牛知识?巧学一、两个向量数量积的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，取与x轴、y轴分别同向的两个单位向量i、j，则a=(x1，y1)=x1i+y1j，b=(x2，y2)=x2i+y2j.由数量积的定义可知：i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0.所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.学法一得 通过坐标形式用i、j表示以后，数量积的运算就类似于多项式的乘法，展开后再合并同类项.也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”，即a·b=x1x2+y1y2.引入坐标后，把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来，即可用a·b=|a||b|cosθ=x1x2+ y1y2来求值.二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式1.a·a=(xi+yj)·(xi+yj)=x2+y2.又a·a=a2=|a|2，∴|a|2=x2+y2.∴|a|=.2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点，另一个点为终点的向量的模.图2-4-4已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)，所以||=.这就是平面内两点间的距离公式.学法一得 向量a的模|a|=也具有一定的几何意义，即|a|= ，通过简单的构造，它表示点(x，y)到原点(0，0)的距离.3.向量垂直的坐标表示我们已经知道平面上两个向量b=(x2，y2)，a=(x1，y1)共线的充要条件：x1y2-x2y1=0.由数量积的定义看，a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2，已知两向量垂直的充要条件是a·b=0，可得a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.学法一得 公式x1x2+y1y2=0是判定两个向量垂直的条件，在实际中可通过它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等.4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由数量积的定义a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=，即cosθ=.学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角.典题?热题知识点一 平面内两点间的距离公式例1 已知A(-3，4)，B(5，2)，则||=___________.解：直接利用公式.||=.也可先求，再求||.∵=(5，2)-(-3，4)=(8，-2)，∴||.知识点二 两个非零向量的数量积与垂直例2 已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，∴AB=(5-2，4-1)=(3，3)，=(2+1，7-4)=(3，3).∴=，从而四边形ABCD为平行四边形.又∵=(-1-2，4-1)=(-3，3)，=(3，3)，∴·=(-3，3)·(3，3)=-9+9=0.∴⊥.∴平行四边形ABCD为矩形.又∵=(3，3)，=(-3，3)，∴||=||=.∴矩形ABCD为正方形.例3 在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值.思路分析：由于没指出哪个内角是直角，故需分别讨论，借助向量减法的运算法则求出△ABC中一边BC对应的向量，再用两个向量垂直的条件，构造出k的方程，从而求出k的值.解：(1)当∠A=90°时，∵·=0，∴2×1+3k=0.∴k=.(2)当∠B=90°时，=-=(1-2，k-3)=(-1，k-3)，∵·=0，∴2×(-1)+3(k-3)=0.∴k=.(3)当∠C=90°时，∵·=0，∴-1+k(k-3)=0，即k2-3k-1=0.∴k1=或k2=.综合(1)(2)(3)可知k的值为k=或k=或k=.例4 如图2-4-5，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，使∠B=90°，求点B和向量的坐标.图2-4-5思路分析：关键是求出B点的坐标，设B(x，y)，由⊥和||=||，则可列出x、y的方程组，解方程组，则可求得x、y，再求的坐标.解：设B点坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(x-5，y-2).∵⊥，∴x(x-5)+y(y-2)=0，即x2+y2-5x-2y=0. ①又||=||，∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29. ②解①②得或∴B点坐标为(，-)或(，).∴=(-，)或=(，).方法归纳 本题是构造方程的题目，主要是用两个向量垂直的条件、向量的减法、向量的模的定义，紧紧抓住“等腰”“直角”两个条件，把方程组列出来.在解方程组时，应注意代