第5篇 留数 2.pptVIP

§2留数 一、留数的概念 1、定义1 二、留数的计算 1、可去奇点的留数 2、本性奇点的留数 3、极点的留数；（1）法则1；（2）法则2；例1 ；（3）法则3；例2 三、留数定理 1、留数定理 2、例3 四、函数在无穷远点的性态及其留数 1、性态： （1）定义2；（3）无穷远点的特征；（4）定义3 2、奇点的判别法：（1）洛朗级数判别法； （2）极限判别法 3、例4 4、在无穷远点的留数：（1）定义4；（2）法则4 （3）定理2 5、例5 返回 1、定义1： 设 在 内解析， 为 的孤立奇点， ，称 的值为 在 处的留数， ，或 C为任意正向圆周： 说明 由洛朗级数与积分的关系， 所以 记为 ，由 给定 返回 即： ╬ §2 留数 一、留数的概念 为 的可去奇点 ，则 解：因为 ，所以 是可去奇点，故 例：求 的留数 返回 ╬ 二、留数的计算 1、可去奇点的留数 为 的本性奇点，则 所以 是本性奇点， 例：求 的留数 解： 为奇点， 不存在，且不为 因为 返回 ╬ 2、本性奇点的留数 为 的极点 所以： 为 的1级极点， （1）法则1： 简单说明: 返回 ╬ 3、极点的留数 （2）法则2： 为 的m级极点 为 的ｍ级极点， 所以 简单说明: 返回 ╬ [例1] 求下列各函数在指定的奇点处的留数 （1） 解： 均为一级极点， (2) ╬ （2） 解： 为1级极点， 为3级极点， 返回 (1) ╬ （3）法则3： ，则 为 的1级极点,且 设 在 处解析， 且 proof ╬ Proof: 在 处解析， 所以： 因为： 在 处解析，且 所以： 为 的1级极点。 因为 (1) 为 的一级极点， 故： 由： 下一页 上一页 ╬ (2) 返回 上一页 ╬ [例2]：求 在 的留数 解： 由 所以：在 满足法则３，是一级极点， 返回 ╬ 1、留数定理： 奇点 的任意一条正向简单闭曲线，则 在区域Ｄ内除了有限个奇点外处处解析， 设 这些小区域互不包含，互不相交， 在各个奇点周围作封闭小区域 Proof: 由复合闭路定理：有 返回 ╬ 三、留数定理 C为D内包含 [例3] 利用留数计算下列积分 （1） （2） （3） ╬ 返回 （1） 在 内有2个奇点 为３级极点， 为一级极点。 解： 所以：原式 返回 ╬ （2） 在 内有1个奇点 满足法则3条件，可知为一级极点，且 所以：原式 解： 返回 ╬ （3） 在 内有1个奇点 所以： 故：原式 解： 返回 ╬ [作业] P183 1（7，9利用零点） P184 8（1，2，5，6） 9（2，5） 10（1，3） 返回 前情提要 孤立奇点的概念和判断: 先求奇点, 在判断是否孤立 孤立奇点的分类判断(L级数判别法, 极限判别法) 可去奇点 极点(几级极点) 本性奇点 1、定义3 ： ，其中 在 处解析，且 ，则称 为 的ｍ级零点。 （1）使函数为零的点 为零点。 ，则称 （2）若 例如： 为１级零点， 为３级零点。 返回 即：若 的零点。 称为 ╬ 四、函数的零点与极点的关系 2、定理2：若 在 处解析，则 为 的 m级零点的充分必要条件是： 但 Proof : “必要性” 在 处解析，且 在 处的泰勒展开为 为 的ｍ级零点，则 设： 由： ，故 　　所以： 但： 下一页 ╬ “充分性” 在 处的泰勒展开为 由 但 所以： 由 在 处解析，且 所以 为 的ｍ级零点。 返回 上一页 ╬ 3、 定理3：如果 为 的m级零点 　　 为 的m级极点 Proof: 已知 为 的ｍ级零点， 处解析、 在 反之同样证明。 所以： 在 处解析、 ，且 为 的m级极点； 所以： 返回 ╬ 4、[例4] 求函数 在z平面上的所有 奇点，并指出它们的类型； ，所以为极点，因为 所以： 是 的一级零点。 解： 为奇点 由 返回 故： 是 的一级极点。 ╬ 作 业