编号：5---2.3平面向量数量积.docVIP

2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4）一、选择题（每小题5分，共20分）1. 已知a=（1，2），b=（-3，2），若ka+b与a-3b垂直，则k的值为（ ）A.18 B.19 C.20 D.212. 已知向量a=（2cos ，2sin ），∈(，π)，b=（0，-1），则a与b的夹角为（ ）A. - B. + C.- D.3. 设a、b是非零向量，若函数f(x)=(xa-b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有（ ）A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 4. 如果向量a与b的夹角为，那么我们称a×b为向量a与b 的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|=|a||b|sin.如果|a|=5,|b|=1,a·b=-3,则|a×b|=（ ）A.3 B.-4 C.4 D.5二、填空题（每小题5分，共10分）5.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴，b=(2,-1)，则a= .6. 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+tb与b的夹角为45°，则t的值为 .三、解答题(共70分)7.（15分）已知a=（-2，2），b=（5，m），若|a+b|不超过5，求m的取值范围.8.（20分）已知a=（2，3），b=（-3，5），求a在b方向上的投影.9. （15分）已知a=（-4，-3），b=（-3，-2），c=2a+ b，d=-a+2b，当实数λ为何值时，向量c-d与a垂直？10. （20分）四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形？ 2.3 平面向量的数量积（数学人教B版必修4） 答案一、选择题1. B 解析：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），a-3b=（1，2）-3×（-3，2）=（10，-4）.又ka+b与a-3b垂直，故（ka+b）·（a-3b）=0，即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k=19.2.A 解析：设a与b的夹角为，则cos ===-sin =cos(+).∵ ∈（，π），∈［0，π］，∴ cos =cos(+)=cos(-).∴ =-.3. A 解析： f(x)=(xa+b)·(a-xb)=- a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)的图象是一条直线，那么其二次项系数为0，∴ a·b=0,∴ a⊥b. 故选A. 4. C 解析：由于a·b=|a||b|cos =-3,所以cos =-.又因为为向量a与b的夹角，所以sin =,所以|a×b|=|a||b|sin =4.故选C.二、填空题5. (-1,1)或（-3，1） 解析：设a=(x,y),则a+b=(x+2,y-1),由题意∴ a=(-1,1)或（-3，1）.6.1 解析：∵ a=（4，-3），b=（2，1），∴ a+tb=（4+2t，-3+t）.∵ a+tb与b的夹角为45°,∴ （a+tb）·b=|a+tb|·|b|·cos 45°，∴ （4+2t）×2+（-3+t）=，∴ 5t+5=.∴ =（t+1）.①将①式两边平方得t2+2t-3=0，解得t=1或t=-3.而t=-3时①式无意义，∴ t=-3舍去，取t=1.三、解答题7.解：由a+b=（3，2+m），|a+b|≤5，得9+（2+m）2≤25.解得-6≤m≤2.8.解：∵ a·b=2×（-3）+3×5=9，|b|==，∴ |a|cos ==.9.解：因为c=2a+b，d=-a+2b，所以c-d=（2a+b）-（-a+2b）=3a-b.又a=（-4，-3），b=（-3，-2），所以c-d=3（-4，-3）-（-3，-2）=（-12+3，-9+2）.又（c-d）⊥a，所以（-12+3）×（-4）+（-9+2）×（-3）=0.解得=.10.解：因为a+b+c+d=0，所以a+b=-（c+d）.所以（a+b）2=（c+d）2.即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.由于a·b=c·d，所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②由①②可得|a|=|c|，且|b|=|d|，即四边形ABCD两组对边分别相等.所以四边形ABCD是平行四边形.又由a·b=b·c得b·（a-c）=0.而由平行四边形ABCD的性质得a=-c，代入上式得b·（2a）=0，即a·b=0.所以a⊥b.亦即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.