概率学课件 2-1.pptVIP

例1 将一颗骰子投掷两次，观察所得的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，…，12，而且 {X=2}={(1,1)}, {X=3}={(1,2),(2,1)}, {X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)}, …… {X=12}={(6,6)}。 例 2 上午 8:00～12:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数． 则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…． 例 3 例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字， X 表示取出的5个数字中的最大值. 试求X 的 分布列 例2 将 1枚硬币掷 3次，X 表示出现的正面 次数与反面次数之差. 试求X 的分布列 例3 设离散型随机变量 X 的分布列为 例3（续） 例4 设随机变量 X 的分布律为 三、常见离散型随机变量的概率分布 如果随机变量 X 有如下的概率分布 说 明 1.显然，当 n = 1 时 由此可知， Poisson定理 Poisson定理的证明(续) 对于固定的 k，有 Poisson定理的证明(续) 所以 Poisson定理的应用 —二项分布与泊松分布关系 由 Poisson 定理，可知 例6（续） 得 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 　　　币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 或n个人同时抛n枚硬币。 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 　　　是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式 且两两互不相容. 称这样的分布为二项分布.记为 二项分布 两点分布 例1 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，每次试验两个结果：次品(A)，非次品，它是3重伯努利试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数， 于是，所求概率为： X ~ b(3,0.05)， 注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时，只能用古典概型求解. 古典概型与伯努利概型不同，有何区别？ 请思考： 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； 二项分布描述的是n重伯努利试验中出现 “成功”次数X的概率分布. （2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ， 且P(A)=p ， ； （3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 例2:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率. 解 :每答一题为试验，结果只有两种，答对(A)的概率为 ，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个5重Bernoulli试验 例3 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜.，假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？ 解 每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则 X ～ B(10,0.6) ，按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以 P{甲获胜 }= 若乙获胜， 则甲赢棋的盘数，即 注意：事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能．容易算出 图形 2 二项分布的分布特点 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. ( [x] 表示不超过 x 的最大整数) n=10,p=0.7 n Pk n=13,p=0.5 Pk n 0 例4 独立射击5000次, 每一次命中率为0.001, (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率. 解 令X 表示命中次数,则 X ~ b(5000,0.001) （2）求 命中次数不少于1 次的概率. 令X 表示命中次数,则 X ~ b(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件 本例 启示 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 由于时间无限, 自然界发生地震、海 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 现象