正余弦定理的教案.docVIP

PAGE 1课 题：正弦定理、余弦定理教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即　　c=， c= ， c=． ∴==2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC= 两边同除以即得：==证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理 =2R，＝2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由　+= 两边同乘以单位向量 得 ?(+)=?则?+?=?∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=| |?||cos(90??A)∴ ∴=同理，若过C作垂直于得： = ∴==正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1 已知在解：∴由得 由得例2 在解：∵∴例3 解：，例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在△ABD内，利用正弦定理得：在△BCD内，利用正弦定理得：∵BD是B的平分线∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC∵∠ADB＋∠BDC＝180°∴sinADB＝sin（180°－∠BDC）＝sinBDC∴∴评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习：1在△ABC中，,则k为( )A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形3在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4在△ABC中，求证：参考答案：1A，2A3C4五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1在△ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2即a2，b2，c2成等差数列七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：正弦定理、余弦定理（2）教学目的：1．掌握正弦定理、余弦定理；2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　== =2R（R为△ABC外接圆半径）2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:⑴若A为锐角时:⑵若A为直角或钝角时:3．在Rt△ABC中(若C=90?)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、讲解新课：1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 [问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？[推导] 如图在中，、、的长分别为、、∵∴即同理可证 ，2．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，