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5.4 频域稳定判据 5.4.1 奈奎斯特稳定判据 闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半平面。第3章中介绍的利用闭环特征方程的系数判断系统稳定性的劳斯稳定判据，其特点是利用闭环信息来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环信息—开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。 频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。 1 辅助函数 对于图5-32所示的控制系统结构图，其开环传递函数为 图5-32 控制系统结图 （5-51） 图5-32 控制系统结图 相应的闭环传递函数为 （5-52） 式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。由式(5-51)、(5-52)可见，和分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比定义为辅助函数 （5-53） 实际系统传递函数分母阶数总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子分母同阶，即其零点数与极点数相等。设，，…，和，，…，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为 （5-54） 综上所述可知，辅助函数具有以下特点： （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。 （2）的零点、极点的个数相同，均为个。 图5-33 平面与平面的关系图（3）与开环传递函数之间只差常量1。的几何意义为：平面上的坐标原点就是平面上的（）点，如图5-33所示。 图5-33 平面与平面的关系图 2 幅角定理 辅助函数是复变量的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数在平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点，都可通过的映射关系在平面上找到一个相应的点 (称为的像)；对于平面上的任意一条不通过任何奇异点的封闭曲线，也可通过映射关系在平面(以下称平面)找到一条与它相对应的封闭曲线 (称为的像)，如图5-34所示。 图5-34 平面与平面的映射关系 图5-35 奈奎斯特路径设平面上不通过任何奇异点的某条封闭曲线，它包围了在平面上的个零点和个极点。当以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，则在平面上相对应于 图5-35 奈奎斯特路径 封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转圈。与、的关系为 （5-55） 3 奈奎斯特稳定判据 为了确定辅助函数位于右半平面内的所有零点、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右半s平面。为此，设计曲线由以下3段所组成： i 正虚轴：频率由0变到； ii 半径为无限大的右半圆：，由变化到； iii 负虚轴：频率由变化到0。 这样，3段组成的封闭曲线（称为奈奎斯特路径）就包含了整个右半平面，如图5-35所示。 在平面上绘制与相对应的像：当沿虚轴变化时，由式（5-53）则有 （5-56） 式中，为系统的开环频率特性。因而将由下面几段组成： i 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性，相当于把右移一个单位； ii 和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当时，，故有； iii 和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性对称于实轴的镜像。 图5-36绘出了系统开环频率特性曲线。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为平面上的封闭曲线如图5-37所示。图中用虚线表示镜像。 对于包含了整个右半平面的奈氏路径来说，式（5-55）中的和分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半平面上的极点数，而则是平面上曲线顺时针包围原点的圈数，也就是平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（）点的圈数。在实际系统分析过程中，一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有 （5-57） 式中，是开环幅相曲线（不包括其镜像）包围平面（）点的圈数（逆时针为正，顺时针为负）。将式（5-57）代入式（5-55），可得奈氏判据： （5-58） 式中，是右半平面中闭环极点的个数，是右半平面中开环极点的个数，是平面上包围（）点的圈数（逆时针为正）。显然，只有当时，闭环系统才是稳定的。 . 图5-36 特性曲线 图5-37 平面上的封闭曲