高等数学22.2边际与弹性.docVIP

课题 2.2.2 边际与弹性 教学 目标 知识目标 知道边际与弹性的概念及其经济意义会简单的经济边际与弹性弹性的概念弹性 教学过程 设计意图 一、知识回顾 1. 复习几个常见经济函数 2.导数反映了一个变量相对于另一个变量变化的快慢程度—变化率问题。 二、情景引入 问题1：导数与经济学究竟有什么关系呢？如何利用导数研究经济变量变化率？ 三、合作探究 1.学习新知 问题2：某企业生产某种产品，当产量为10个单位时，若再增加一个单位产品，总成本将增加几个单位呢? 在经济学中，习惯用“平均”和“边际”的概念描述一个经济变量对于另外一个经济变量x的变化.平均概念表示在自变量的某一个范围内的平均值，即函数在内的平均变化率.边际概念表示当的改变量趋于0时，函数在的某个值的“边缘上”的变化率，即——导数.因此，边际函数就是导数.于是有 若函数可导，则导函数也称为函数的边际函数.称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值，它表示在点处的变化速度.　 在点处，从改变一个单位时，的改变量准确值为，当改变的“单位”很小时，则的近似值为　 这说明在点处，当产生一个单位的改变时，函数近似改变单位，在经济学中，解释边际函数值的具体意义时通常略去“近似”二字.　 问题3：经济学中有哪些常见的边际函数呢？ 设总成本是产量的可导函数，则称总成本对产量的导数为边际成本；设总收益是的可导函数，则称总收益对产量的导数为边际收益；设总利润是的可导函数，则称总利润对产量的导数为边际利润；设需求是的可导函数，则称对价格的导数为边际需求. 2.探究例题 【例1】 已知某商品的成本函数为 （Q表示产量） 求Q=10时的边际成本并解释其经济意义. 解 由得边际成本函数为： 则当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将增加（减少）5个单位. 【例2】 设某产品的需求函数为，其中P为价格，为需求量，求边际收益函数以及=20、50和70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义. 解 由题设有，于是，总收益函数为： 于是边际收益函数为： 由所得结果可知，当销售量（即需求量）为20个单位时，再增加销售可使总收益增加，多销售一个单位产品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收益的变化率为零，这时总收益达到最大值，增加一个单位的销售量，总收益基本不变；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收益约减少8个单位. 3.学习新知 问题4：经济活动中，一个重要的问题是商品价格变化对收益的影响.如果某商品为适应市场需要欲适当降低价格，会不会降低其收益呢？ 一般情况下，需求量是随价格的上涨而减少的，即需求函数是价格的递减函数.如果厂商降低价格，则单份收益减少，但是销售量上升，从并不能明确地判断对的净影响.这里的关键因素不是和变化的绝对量而是变化的比例或百分数.直观地，我们期望增加的百分比大于下降的百分比，从而厂商的收益增加.如果需求对价格的变化相对敏感，我们说需求是富有弹性的，相似地，如果需求对价格的变化相对不敏感，我们说需求是缺乏弹性的，此时，销售量变化的百分比小于价格变化的百分比.厂商可以通过提高价格来增加收益，尽管结果是需求下降，但价格上升可以弥补销售量的减少从而增加收益.当然，也可能价格变化和销售量变化的百分比相等，从而使得收益不变，我们用单位弹性来描述这种情况. 当价格由下降到导致需求量由增加到，我们通过定义需求价格弹性来量化需求对价格变化的反映. 我们注意到，需求函数一般为价格的递减函数，价格正的变化导致需求量负的变化，反之亦然，故需求价格弹性取负值.因此，经济学中常规定 然而，这表示在到两点间的弹性，而不是表示计算在一个点的精确弹性值.我们考虑将趋于0，从而比值趋于，即，于是在一点处的需求价格弹性为 或 需求函数在价格为时的需求价格弹性反映随价格的变化，需求量变化幅度的大小，即需求量对价格变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上，表示当价格为时，价格上涨（下降），需求量减少（增加）. 4.探究例题 【例3】 设某商品需求函数为 (1)求需求弹性函数； (2)求，，时的需求弹性. 解 (1) (2) ，表明当时，价格上涨，需求量减少0.4； ，表明当时，价格上涨，需求量减少1； ，表明当时，价格上涨 ，需求量减少2. 5. 学习新知 问题5：当商品的价格为时，价格变化，总收益变化多少呢？ 下面，我们用需求价格弹性分析总收益的变化. 由于总收益，于是 于是，我们得到了需求弹性和边际收益的关系，并且验证了前面关于收益与弹性的直观认识.由上式我们可以看到： 如果，则需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，递增.即价格上涨，总收益增加；价格下降，总收益减少. 如果，则需求变动的幅度大