当x值给定时y的值也随之确定则称y为x的函数一般记为.DOCVIP

2-1　簡單多項式函數及其應用 重點整理 1.函數：當x值給定時y的值也隨之確定, 則稱y為x的函數, 一般記為 　　　　y=f(x), 其中x稱為自變數, y稱為應變數. 2.若函數f (x)可以寫成ax + b的形式, 其中a, b為實數, a ≠ 0, 則稱f (x)為 一次函數. 3.函數f (x) = ax + b, 其圖形為過(0, b)且斜率為a的直線. (1)當a＞0時, 函數圖形由左而右呈逐漸升高的直線. (2)當a＜0時, 函數圖形由左而右呈逐漸下降的直線. (3)｜a｜愈大, 直線的傾斜程度愈大. 4.若函數可以寫成ax2 + bx + c的形式, 其中a, b, c為實數, a ≠ 0, 則稱f (x)為二次函數. 5.二次函數f (x)= ax2 + bx + c的圖形是以()為頂點, 　x=為對稱軸的拋物線. (1)當a＞0時, 此時頂點為圖形的最低點, 圖形開口向上. (2)當a＜0時, 此時頂點為圖形的最高點, 圖形開口向下. 6.函數的奇偶性：設c為函數f (x)定義域上的任一數, 若函數f (x)滿足 (1)　f(－c)=f(c), 則稱函數f (x)為一偶函數. (2)　f(－c)=－f(c), 則稱函數f (x)為一奇函數. 7.函數的單調性：設x1, x2為函數f (x)定義域中的任兩數, (1)若x1＜x2, 恆有f (x1)≤ f (x2), 則稱函數f (x)為遞增函數. (2)若x1＜x2, 恆有f (x1)＜f (x2), 則稱函數f (x)為嚴格遞增函數. (3)若x1＜x2, 恆有f (x1)≥ f (x2), 則稱函數f (x)為遞減函數. (4)若x1＜x2, 恆有f (x1)＞f (x2), 則稱函數f (x)為嚴格遞減函數. 我們也將遞增函數或遞減函數稱為單調函數. 一基礎題 例題1 某次考試, 由於試題較難, 同學分數普遍低落, 老師決定以一次函數來調整分數, 使原本 40分者調為60分, 原本70分者調為96分, 則原本60分者, 調整後的分數為何？ 解設x分調整後為y分, 令y = ax + b, 則, 解得a =, b=12, 則y =x + 12, 故所求=．60 + 12 = 84（分）. 例題2 右圖中, 若的斜率為m1, 的斜率為m2, 的斜率為m3, 的斜率為m4, 試比較m1, m2, m3,m4的大小. 解A(0, 7), B(2, 2), C(5, 3), D(7, 1), E(9, 5), 則的斜率為m1=, 的斜率為m2=, 的斜率為m3==－1, 的斜率為m4 = = 2, 故m4＞m2＞m3＞m1. 例題3 二次函數y = f (x)滿足f (0) =－5, f (1) = 1, f (2) = 11, 試求f (x)的最小值. 解令f (x) =ax2 + bx－5, 又, 則, 解得a=2, b = 4, 則f (x) =2x2 + 4x－5 = 2(x + 1)2－7, 故f (x)的最小值為－7. 例題4 二次函數f (x)= 2x2－8x + 13, 其中0≤ x ≤5, 試求f (x)的最大值與最小值. 解f (x) = 2x2－8x + 13 = 2(x2－4x) + 13 　=2(x－2)2 + 5, 　(1)當x=5時, f(x)=f(5)=23為最大值. 　(2)當x=2時, f(x)=f(2)=5為最小值. 例題5 設y = f (x)為二次函數, 若其圖形通過點(2, 5), 且其頂點為(1, 3), 試求f (x). 解令f (x)=a(x－1)2 + 3, 過(2, 5), 即f (2)=5, 則a(2－1)2 + 3=5 a=2, 故f (x)=2(x－1)2 + 3=2x2－4x + 5. 例題6 若f (x)=ax2 + bx + c, 滿足f (1)=4, f (5) =－4, 且對任意實數x, f(2 + x) = f(2－x)均成立, 試求a, b, c的值. 解因為= f (2 + x) = f(2－x), 所以x = 2為對稱軸, 　可設f (x)=a(x－2)2 + k, 　又, 則, 解得a=－1, k = 5, 　則f (x)=－(x－2)2 + 5 = －x2 + 4x + 1, 　故a=－1, b = 4, c = 1. 例題7 試判斷下列函數何者為奇函數？何者為偶函數？ (1) f 1(x)=－5.　　(2) f 2(x)=－x5 + 3x.　　(3) f 3(x)=2009x98 + 11. 解設c為任一實數, 則 (1)因為f 1(－c)=－5= f 1(c), 所以f 1(x)為偶函數. (2)因為f 2(－c)=－(－c)5 + 3(－c)