2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法课件 新人教B版选修1-2.pptVIP

2.2.1　综合法与分析法 第二章　§2.2 直接证明与间接证明 学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　综合法 思考　 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明　因为b2＋c2≥2bc，a0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 答案　利用已知条件a0，b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论. 梳理　 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示 定义 公理 定理 推理论证 结论 (P表示 、已有的 、 、 等，Q表示_________ _______) 已知条件 定义 公理 定理 所要证明 的结论 知识点二　分析法 思考　 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 答案 答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件. 梳理　 (1)定义：从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、 、 、 等)，这种证明方法叫做分析法. (2)分析法的框图表示 结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究 命题角度1　用综合法证明不等式 例1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. 证明　 类型一　综合法 证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等， ∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则. (2)用综合法证明不等式时常用的结论： 反思与感悟 证明　 又a，b，c为不全相等的正实数， 且上述三式等号不能同时成立， 命题角度2　用综合法证明等式 例2　求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β). 证明 证明　因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立. 证明三角恒等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式. 反思与感悟 证明 于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0.因为－πB－Cπ， 从而B－C＝0，所以B＝C. 类型二　分析法 证明 分析法的应用范围及方法 反思与感悟 证明 只需证02，而02显然成立， 证明 (2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B1. 证明　要证tan Atan B1， ∵A、B均为锐角，∴cos A0，cos B0. 即证sin Asin Bcos Acos B， 即cos Acos B－sin Asin B0， 只需证cos(A＋B)0. ∵△ABC为锐角三角形，∴90°A＋B180°， ∴cos(A＋B)0，因此tan Atan B1. 当堂训练