2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修2-1.docVIP

第一章 常用逻辑用语 1　怎样解逻辑用语问题 1.利用集合理清关系 充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下： (1)A是B的充分条件，即AB. (2)A是B的必要条件，即BA. (3)A是B的充要条件，即A＝B. (4)A是B的既不充分又不必要条件， 即A∩B＝或A、B既有公共元素也有非公共元素. 或 例1　设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x22}，则“a＝1”是“ST”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 解析　T＝{x∈Z|x22}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以ST；反之，若ST，则S＝{0,1}或S＝{0，－1}.所以“a＝1”是“ST”的充分不必要条件. 答案　充分不必要 2.抓住量词，对症下药 全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药. 例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________. (2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________. 解析　(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时， (x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1. 命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2. 综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]. (2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0， 即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1). 综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]. 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4] 点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢. 3.挖掘等价转化思想，提高解题速度 在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真. 例3　设p：q：x2＋y2≤r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围. 分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B，则可由ARB出发解题. 解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2＋y2＝r2外的点的集合. ∵ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r， ∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等 于r，∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离 d＝＝，∴r的取值范围为(0，]. 点评　若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法. 2　辨析命题的否定与否命题 否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别. 1.否命题与命题的否定的概念 设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定.所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论.“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反. 例1　写出下列命题的否命题及否定： (1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0； (2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加. 分析　问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题. 解　(1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”. 写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y不全为0”. 写原命题的否定只需否定