2017-2018版高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修1-2.docVIP

2.2.2　反证法 明目标、知重点　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. 1.反证法的定义 一般地，由证明pq转向证明：綈qr?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下 结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反设词 一个也没有 (不存在) 至少有两个 至多有 (n－1)个 至少有 (n＋1)个 结论词 只有一个 对所有x成立 对任意x不成立 反设词 没有或至 少有两个 存在某个x不成立 存在某个x成立 结论词 都是 一定是 p或q p且q 反设词 不都是 不一定是 綈p且綈q 綈p或綈q [情境导学] 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法. 探究点一　反证法的概念 思考1　结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？ 答　(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法. 思考2　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？ 答　(1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾. 思考3　反证法主要适用于什么情形？ 答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形. 探究点二　用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例1　已知直线a，b和平面α，如果aα，bα，且a∥b，求证：a∥α. 证明　因为a∥b， 所以经过直线a，b确定一个平面β. 因为aα，而aβ，所以α与β是两个不同的平面. 因为bα，且bβ，所以α∩β＝b. 下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点. 假设直线a与平面α有公共点P，如图所示， 则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点， 这与a∥b矛盾.所以a∥α. 反思与感悟　数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法. 跟踪训练1　如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交. 证明　假设b与平面α不相交，即bα或b∥α. ①若bα，因为b∥a，aα，所以a∥α， 这与a∩α＝A相矛盾； ②如图所示，如果b∥α， 则a，b确定平面β. 显然α与β相交， 设α∩β＝c，因为b∥α， 所以b∥c.又a∥b， 从而a∥c，且aα，cα， 则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾. 由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交. 探究点三　用反证法证明否定性命题 例2　求证：不是有理数. 证明　假设是有理数.于是，存在互质的正整数m，n， 使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2， 所以m为偶数.于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有 4k2＝2n2，即n2＝2k2， 所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾. 由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数. 反思与感悟　当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法. 跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列. 证明　假设，，成等差数列，则 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b， 而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4， ∴(－)2＝0.即＝， 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列. 探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明 例3　若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根. 证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ，不妨设αβ，又因为函数f(x