离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第八章优质课件.docVIP

第八章 离散傅立叶变换 8.1 假设是一个周期的连续时间信号，其周期为1ms，它的傅立叶级数为 . 对于，傅立叶系数为零，以采样间隔对采样得到： . (a) 是周期的吗？如果是，周期为多少？ (b) 采样率是否高于奈奎斯特采样率，也就是说T是否充分小而且可以避免混叠？ (c) 利用求出的离散傅立叶级数系数。 解：（a） 而 是周期的，周期为6。 （b）而采样频率为 所以T足够小，而可以避免混叠。 （c） 8.2 设是一个周期为N的周期序列，还是一个周期为3N的周期序列。令表示作为周期为N的周期序列的的DFS系数，表示作为周期为3N的周期序列的的DFS系数。 (a) 用表示出。 (b) 用公式计算和，当为图P8.2中给定的序列时，证明你在(a)中得出的结果。 解: (a)由DFS的分析式可得: 而 令 则 = = (b) = = = 当时, 8.3在推导DFS的分析式（8.11）中我们用到了等式（8.7）。为了证明这个等式，我们分别考虑和这两种条件。 当时，证明，并由此证明： ， 因为在等式（8.7）中和都是整数，所以用来替换并且考虑到求和式 因为这是几何级数中有限项的求和，写成闭合形式 （P8.3） （b）取何值时，式（P8.3）右边为不定式，即分子和分母都为零。 （c）由（b）的结果证明：当时， 证明： 有限项求和可以写成闭式： 当，即，m为整数时，上式右边为不定式。 证明：当时，令，（0pN, p为整数） 8.4 证明： （a） 做变量代换，可得： 。 （b）其中： 。 （c）。 8.5 (a) 在表8.1中我们列出了许多周期序列离散傅立叶级数的对称性质，下面我们重新列出其中的几个。试证明下列每个性质均是正确的。证明中你可以利用离散傅立叶级数的定义和表中列出的任何性质（如在证明性质3中可利用性质1和2）。 序列 离散傅立叶级数 1. 2. 3. 4. 由在（a）中证明过程的性质，证明对于一个实周期序列，下列离散傅立叶级数的对称性质成立： 1. 2. 3. 4. ，其中，。 解：（a）性质1： 性质2： 性质3： 性质4： （b）对实周期序列，有 8.6 (a) 图P8.6-1表示两个周期N=7的周期序列和。求序列的，使其DFS等于的DFS和的DFS的乘积，即 (b) 图P8.6-2表示一个周期序列，其周期N=7。求序列的，使其DFS等于的DFS和的DFS的乘积，即 解: (a)由DFS的周期卷积性质可知: (b)同理可得: 8.7图P8.7画出几个不同周期序列，这些序列可以用傅立叶级数表示为： 哪一个序列可以通过选择时间起始点使所有的都为实数？ 哪一个序列可以通过选择时间起始点使所有的都为虚数（k为N的整数倍除外）？ 哪一个序列有， 图P8.7 解： （a）要使所有的为实数，既要求，由DFS的性质可以知道，则必须。又因为是实序列，所以要求，故图P8.7中的第二个序列通过选择时间原点使所有的为实数。 要使所有的为虚数，既要求，由DFS的性质可以知道，则必须。又因为是实序列，所以要求，故图中没有一个序列能够满足使所有的为虚数的条件。 对应图P8.7中的第一个序列，可以写出： 当。 对于第三个序列，它是第一个序列减去平移4位后的序列，那么： 当。 8.8 解： （1），即： 其中：。 （2），其中： 。 （3）的傅立叶变换。 即： 。 即得到结果。 8.9 考虑由式给出的序列。周期序列由用下列方式构成： 。 求的傅立叶变换 求的离散傅立叶变换。 和有何联系？ 解：（a） （b） 则有 （c）由（a），（b）可知。 8.10 考虑一个长度为N的有限长序列即，在之外 表示的傅立叶变换。表示由的64个等间隔样本构成的序列，即 已知在范围内，，而其余值均为零。 (a) 如果序列长度N=64，按照给定的信息求出序列。说明答案是否是唯一的。