第5讲蒙特卡洛方法的应用原稿讲义.ppt

四、MC的应用举例 例一、定积分的MC计算 随机投点法 样本平均值法 几种降低估计方差的MC方法 例二、 随机微分方程的数值模拟 系统的可靠性数值模拟计算问题 * 定积分的MC计算 事实上，不少的统计问题，如计算概率、各阶距等，最后都归结为定积分的近似计算问题。 下面考虑一个简单的定积分 为了说明问题，我们首先介绍两种求 的简单的MC方法，然后给出几种较为复杂而更有效的MC方法。 * 在计算积分上，MC的实用场合是计算重积分 其中 是 维空间的点，当 较大时，用MC方法比一般的数值方法有优点，主要是它的误差与维数 无关。 * * 随机投点法 方法简述： 设 ，有限， ， ，并设 是在 上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函数为 。则易见 是 中 曲线下方的面积。假设我们向 中进行随机投点，若点落在 下方，(即 称为中的，否则称为不中，则点中的概率为 。若我们进行了 次投点，其中 次中的，则用频率来估计概率 。即 。 * 那么我们可以得到 的一个估计 具体试验步骤为 * 注1 随机投点法的思想简单明了，且每次投点结果服从二项分布，故 ，其中 注2 可证 是 的无偏估计。若用估计的标准差来衡量其精度，则估计 的精度的阶为 。 注3 这里，定积分的解，就对应我们选定的随机变量的概率值。 * 样本平均值法 基本原理：对积分 ，设 是 上的一个密度函数，改写 可见，任一积分均可以表示为某个随机变量（函数）的期望。由矩法，若有 个来自 的观测值，则可给出 的一个矩估计。 最简单的，若 ，有限，可取 。 * 设 是来自 的随机数，则 的一个估计为 具体步骤为 注 可证 是 的无偏估计。一般而言，样本均值法要比随机投点法更有效。 * 求解定积分的算例 计算定积分 事实上，其精确解为 随机投点法：sjtd_djf.f90，及动态图 样本平均值法：ybpjz_djf.f90 注 所有计算中的随机数的产生均来自IMSL库。样本数为10000。增加样本数目，可提高计算精度，但计算时间也会提高。 * 几种降低估计方差的MC方法 重要抽样法 特点：相对样本均值法而言，样本均值法是由于假设 是均匀分布的概率密度，故采用的是均匀抽样，各随机数 是均匀分布的随机数，各 对 的贡献是不同， 大则贡献大，但在抽样时，这种差别未能体现出来。 而重要抽样法，则希望贡献率大的随机数出现的概率大，贡献小的随机数出现概率小，从而提高抽样的效。 * 几种降低估计方差的MC方法 重要抽样法 关键因素在于 的选取，使得估计的方差较小。 重要抽样法的基本思想，就是通过选取与 形状接近的密度函数 来降低估计的方差。 * 几种降低估计方差的MC方法 分层抽样法 同样是利用贡献率大小来降低估计方差的方法。它首先是把样本空间 分成一些小区间 ，且诸 不交， ，然后在各个小区间内的抽样数由其贡献大小决定。对 贡献大的 抽样多，可提高抽样效率。如果能够提出较好抽样区间的分配和各子区间内抽样次数的分配方案，分层抽样法估计积分可以达到非常令人满意的效果。 * 几种降低估计方差的MC方法 关联抽样法 将需要估计的积分分解成两个积分之差， 对 的估计转化为对 ， 的估计的差。则相应的，其估计的方差的大小则与 ， 的估计的正相关度有关，若两者的相关程度越高，则 的估计方差越小。这便是关联抽样法的基本出发点。 * 随机微分方程的数值模拟 考虑It?随机微分方程 一般，可以求精确解析解的It?随机微分方程只有两类，一种是线性的It?随机微分方程，另一种是可用It?微分公式化为线性的非线性It?随机微分方程，并且主要是标量方程。而实用中较复杂的It?随机微分方程则只能用数值解法。 对上式用最简单的Euler-Maruyama近似： * 求解下面受谐和激励与高斯白噪声激励的Duffing振子： 参数取值： 将上式化为标准It?微分方程，借助 Euler-Maruyama近似，可求得上述Duffing方程的时间历程图，及相轨图。 由于需要大量计算时间，我们只给出结果，以作参考。 * 时间历程图