电类高等数学电子教案十章习题讲解.docVIP

第十章 向量与空间解析几何 练习题10.1 1．某点与给定点分别对称于： （1）坐标面； （2）坐标面； （3）坐标面. 求该点的坐标. 解：略．　 2．设向量，，试用 、、表示. 解： ．　 3．设某点与给定点分别对称于： （1）轴； （2） 轴； （3）轴； （4）原点. 求出其坐标. 解：略. 4．在内设，，试用和表示向量 ，、和，其中是对角线的交点. 解：，,(其余同理可证) . 练习题10.2 1．写出向量，和的坐标，求出它们的模，并分别用单位向量表示. 解： ， ， ，，， . 2．判断下列向量中哪些是互相垂直的， 哪些是互相平行的? （1）； （2）； （3）； （4）. 解：令, , . ∵ , ∴ . 同理可证； ∵ 的各分量之比＝, ∴ ． 3．设向量， ，求 （1）； （2）和的夹角. 解：（1）； （2）,， , ∴. 4．已知向量，， 求： （1）； （2）； （3）. 解：（1） ==； （2）； （3）. 练习题10.3 1．已知两点和，求通过点且垂直于线段的平面． 解：∵ ， ∴ 所求平面为 ， 即 . 2．求过点且与平面平行的平面方程． 解： ∵， ∴ 所求平面方程为 ，即. 3．一平面通过点，而在、轴上的截距分别是和，求它的方程． 解：设方程为将代入得：，故所求平面方程为. 4．平面通过点和且与平面垂直，求其方程． 解：设所求平面方程为：，代入和，得方程； 又∵ 与平面及向量垂直， ∴ , 联立上四方程解得：，取，得所求方程为：. 5．求通过点且垂直与平面和的平面的方程． 解：∵ 所求平面的法向量同时垂直平面和， ∴ 所求平面的法向量可取为 ， 故所求平面方程为：，即．. 练习题10.4 1．分别求符合下列条件的直线的标准方程和参数方程． （1）过点（1，2，4）且与两平面和平行； （2）过点（-1，2，1）且平行于直线． 解：（1）∵所求直线与二平面平行，故与其法线向量垂直，方向向量可取为 ， ∴ 所求直线的标准方程为. 令，则得参数方程为． （2）与（1）同理可得所求直线的标准方程和参数方程为 和 . 2．试证下列各组直线互相平行 （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ． 解：（1）设二直线的方向向量为和，而两线平行的充要条件是其方向向量共线， （R），由于 ，即，，即， ∴ ，故二直线平行； 同理可得 （2）， ，，故二直线平行； （3），，，故二直线也平行. 3．试证下列各组直线互相垂直． （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 ． 解：（1）设二直线的方向向量为和，则. ，， 由于,故，即二直线互相垂直； 同理 （2），，, 故，即二直线互相垂直； （3），， , 故，即二直线也互相垂直. 4．求直线与平面的交点． 解： 令＝，则 代入平面方程，解得＝1，代入参数方程得交点. 练习题10.5 1．求出与点和等距离的点的轨迹方程． 解：设为轨迹上任意一点，则由题意，即 化简得轨迹方程 . 2．求下列各球面的方程． （1）中心在点，半径； （2）中心在点且通过点； （3）一直径的两个端点是和． 解：（1）设为轨迹上任意一点，则由题意 ， 化简既得球面方程 . （2）∵ ∴ 球面方程为 . （3）∵球心为， ∴ 球面方程为 . 3．指出下列各方程表示哪种曲面，并作出他们的简图： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 解：（1） 表以为中心，为半径的球面； （2） 准线为面上的圆，母线平行于轴的圆柱面； （3） 原方程可分解为，即两平行于坐标面的平面； （4）方程可分解为，即两相交于轴的平面； （5）满足方程的解的点仅，故表 原点； （6）原方程可分解为，即两平行于坐标面的平行平面； （7）准线为面上的椭圆，母线平行于轴的椭圆柱面； （8）准线为面上的双曲线，母线平行于轴的双曲柱面； （9）准线为面上的抛物线，母线平行于轴的抛柱面. 4．指出下列方程所表示的曲面，特别指出哪些是旋转曲面，他们是怎样产生出来的： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解： （1）即，系由绕轴旋转而成的旋转椭球面； （2）为半径是的球面； （3）即，