2007年数学高考四川(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正.docVIP

2007年数学高考四川卷(理)第22(Ⅲ)题别解的纠正 文［1］给出了2007年高考四川卷（理）第22 题的别解如下： 题目：设函数， （Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项； （Ⅱ）对任意的实数，证明； （Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说是理由. 解：（Ⅰ）（Ⅱ）略 关于第（Ⅲ）小题的别解： 先证：， 设，则。 展开式的通项 展开式的通项， 由展开式的通项可以求出，。 所以，所以， 即是一个递增数列，由于，所以， 因此存在，使不等式。 上述解法表面上看比标准答案来得简捷、明了，推证过程也似乎合情合理，但却是错误解法，为什么呢？问题出在哪里呢？ 我们先回顾一下高等数学中的两个常用的知识点： 1、极限存在定理：若单调增加且有上界（即且存在实数使得一切），则必收敛. 2、证明存在可分两步①说明数列单调递增②说明数列有界. 是因为先有数列的有界即，才使得它成立.而上述解法却把结论拿来当已知条件用，把已知条件当成结论，犯了循环论证的错误！ 通过对上述错误解法的认识后，可以发现本题的第（Ⅲ）小题若要运用不同的方法求解，只能来源于对的不同证法，下面给出两种简便解法： 法一：运用均值不等式证明 （其中为正数，等号成立当且仅当）， ， ，从而数列单调递增。 又因为当时有， ， ， 所以， 所以。 因为，所以， 因此存在，使不等式。 法二：运用伯努利不等式证明 （其中，且为不小于2的自然数） 令代入（1）式中，则有， ， 所以，当时，。 所以，数列单调递增， 令代入（1）式中，则有， ， ， 由于数列单调递增。 所以，， 所以。 因为，所以。 因此存在，使不等式。 参考文献 1. 2007年高考题（省市卷）：别解与感悟（续）.本刊试题研究组.中学数学教学参考.2007.11 1