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函数的单调性 松滋市贺炳炎中学 熊 虎 教学目标： （1）使学生了解增、减函数的概念及单调性，单调区间的概念 是学生掌握判断一些简单函数单调性的方法和步骤 能力目标： 使学生理解增、减函数的概念 是学生掌握某些函数增减性的方法 培养学生利用数学概念进行判断推理能的力 培养学生数行结合，辨证思维的能力 思想目标：通过本节课的教学，启示学生养成细心观察、认真分析严谨论证的良好习惯 教学重点：函数单调性的有关概念 教学难点：函数单调性的判断和证明 课型：新授 教学过程： 复习提问 我们上节课学习了函数的表示方法，请大家回顾一下函数表示法有哪些？它们的优点是什么？ 答：解析法、图象法、列表法 新课引入 前面我们学习了函数的概念、表示法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法。今天我们来进一步来研究一些函数的性质（板书课题）。 新授 在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数性质，按取值、列表、描点、作图的步骤画出一次函数和二次函数的图象 x …… -2 -1 0 1 2 …… f(x)=x …… -2 -1 0 1 2 …… x …… -2 -1 0 1 2 …… f(x)=x2 …… 4 1 0 1 4 …… 学生观察函数的图象并探讨函数的变化趋势： 得如下结论：函数图象f(x)=x由左至右是上升的；函数f(x)=x2图象在y轴右部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高， 总结: 随着x的增加，y的值在增加，怎样用数学语言来刻画这一性质呢？ 任取，，得到 当，则有即 则体现了越往右图象上的点越高，既体现图象是上升的，这时我们就说在是增函数。 看一下图象左侧部分的情形是怎样的？也就是在左侧随着的增加，的值在怎样的变化？（可能有的学生回答错误）进一步提示：那么同学们想一下，在轴的左侧越往右，图象的点越低，说明了什么问题呢？怎样用数学语言来描述呢？ [学生回答] 在轴的右侧，越往右图象上的点越低，说明随着的增加，的值在减小，用数学语言表示：任取，，得到 当，则有即这时我们就说在是减函数。 那么我们就可以给出增、减函数的一般的定义了，我们先来看一下增函数： 一般地，设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么我们就说函数在区间D上是增函数（increasing function）； 学生讨论并总结出减函数的定义： 设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么我们就说函数在区间D上是减函数（decreasing function）。 如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间。 同学们先回顾记忆一下增、减函数的定义然后我们一起来看几点注意事项。 注意： （1）函数的单调性也叫函数的增减性。 （2）函数的单调性指对某个区间而言的，是一个局部概念。 （3）判断函数单调性的方法： a.任取，D，且 b.比较，的大小，通常作化简 c.判断的符号（0或0） d.下结论 下面我们来看一个练习： 例1 如图定义在定义域上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数的单调区间有，，，。其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数。 练习： 描述下图配线的情况，该装线的生产效率表示为生产线工人数量的函数。 整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午（12：00—13：00）一场暴风雨是天气骤然凉了许多。暴风雨过后，天气转暖，至到太阳落山（18：00）才开始转凉。画出着一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间。 例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强将增大，试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是增函数即可。 解：根据单调性的定义，设，是定义域上的任意两个实数，且，则 由，，得 ； 由，得-0。 又，于是 即 所以，表示的函数，是减函数。也就是说，当体积减小时，压力将增大。 练习：课本38页3 小结 本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记；单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断。 五 作业 2.3