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* * 第一节 常数项级数的概念与基本性质 一、基本概念 级数: 一般项: 部分和: 部分和数列: 若 ,则称级数收敛,并称 为级数的和; 否则称级数发散。 有限数 例1、证明:几何级数(等比级数) 收敛 , 当且仅当 时。 例2、判别下列级数的敛散性,若收敛则求其和。 余项: 例3、证明调和级数 发散。 二、无穷级数的基本性质 余项级数: 性质1:级数 与它的任一余项级数有相同的敛散性。 或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的 敛散性。 推论1:任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。 性质2:(1)若级数 收敛,其和为 ,则对任意 常数 ,级数 收敛,且其和为 。 (2)若级数 、 分别收敛于和 、 ,即 , 则级数 也收敛,其和为 。 推论2:若 ,则级数 与 有相同的敛散性。 推论3:两个收敛级数可以逐项相加或相减。 性质3:对收敛级数的项任意加括号后所得的级数仍然 收敛,且其和不变。 推论4:加括号后所成的级数发散,则原级数发散。 考察级数的敛散性: ? *
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