2017-2018学年数学北大版必修4《两角和与差的三角函数习题课》练习含试卷分析详解.docVIP

25　两角和与差的三角函数习题课 时间：45分钟　满分：80分 班级________　　姓名________　　分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知α为任意角，则下列等式 ①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ③cos(＋α)＝－sinα ④tan(－α)＝cotα ⑤tan(α－β)＝ 其中恒成立的等式有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B 解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan(－0)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的tan(α－β)无意义． 2．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案：B 解析：∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π. 3．若sinα＋cosα＝－，则cos(－α)等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 解析：sinα＋cosα＝2sin(α＋)＝－. cos(－α)＝cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝－. 4．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A. B. C.或 D.或 答案：A 解析：因为α∈，所以2α∈.又sin2α＝，故2α∈，所以α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝. 5．已知sin＝sinα＝－，－α0，则cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：D 解析：因为sin＋sinα＝－，所以sin＋sin＝－， 所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－， 所以－＝－， －cos＝－，cos＝， 所以cos＝cos＝，故选D. 6．在△ABC中，若tanC＝，且sinAcosB＝cos(－B)sinB，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等腰但非直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案：D 解析：由tanC＝可知，C＝.所以A＋B＝，故cos＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形． 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________. 答案：0 解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinx ＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0. 8．函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为________． 答案：[－5,1] 解析：y＝2sin2x＋2cos2x－3＝4sin－3.又x∈，所以2x＋∈，sin∈，所以－2≤4sin≤4，所以－5≤4sin－3≤1.所以函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为[－5,1]． 9．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________． 答案：－ 解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－. 三、解答题：(共35分，11＋12＋12) 10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－. 解析：因为tanα＝2， 所以左边＝＝＝＝， 右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝， 所以左边＝右边，所以原等式成立． 11．已知函数f(x)＝sin－cos，x∈R. (1)求f的值； (2)若α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 解析：(1)∵f(x)＝sin－cos，x∈R， ∴f(x)＝2sin，x∈R. f＝2sin＝2sin＝. (2)f＝2sinα＝，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝. f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，∵β∈，∴sinβ＝. ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝. 12．已知sinαcosβ＝，求 sinβcosα的取值范围． 解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋， sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－.因为－1≤sin(β±α)≤1 所以所以－≤sinβcosα≤. 即当α＋β＝2k