2016届高三数学一轮复习（识点归纳与总结）：基本不等式.docVIP

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等． 2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年江苏T17等. [归纳·知识整合] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． [探究]　1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a＝b时，≥取等号，即a＝b?＝ ②仅当a＝b时，≥取等号，即＝?a＝b. 2．几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)． ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R) 3．算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是2(简记：和定积最大)． [探究]　2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y＝x＋在x≥2时的最小值，利用单调性，易知x＝2时ymin＝. [自测·牛刀小试] 1．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(　　) A．18　　　　　　　　　　 B．36 C．81 D．243 解析：选A　因为m0，n0，所以m＋n≥2＝2＝18. 2．若函数f(x)＝x＋(x2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋　　　 B．1＋　　　 C．3　　　 D．4 解析：选C　f(x)＝x＋＝x－2＋＋2， ∵x2　∴x－20 ∴f(x)≥2 ＋2＝4 当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立，又f(x)在x＝a处取最小值，所以a＝3. 3．已知x0，y0，z0，x－y＋2z＝0则的(　　) A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为 D．最大值为 解析：选D　＝＝ ＝≤.当且仅＝，即x＝2z时取等号． 4．函数y＝x＋的值域为________． 解析：当x0时，x＋≥2 ＝2； 当x0时，－x0， －x＋≥2 ＝2，所以x＋≤－2. 综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 5．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________． 解析：由题意知：P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m0，n0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4≥16(当且仅当m2＝，即m＝时，取等号)．故线段PQ长的最小值为4. 答案：4 利用基本不等式证明不等式 [例1]　已知a0，b0，a＋b＝1， 求证：≥9. [自主解答]　法一：∵a0，b0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋. ∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”． ∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立． 法二：＝1＋＋＋ ＝1＋＋＝1＋， ∵a，b为正数，a＋b＝1， ∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取“＝”． 于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”． ∴≥1＋8＝9， 当且仅当a＝b＝时等号成立． 保持例题条件不变，证明： ＋ ≤2. 证明：∵a0，b0，且a＋b＝1，　　　　 ∴ ＋ ＝ ＋ ≤＋＝＝＝2. 当且仅当a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝时“＝”成立． ——————————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 1．已知a0，b0，c0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：∵a0，b0，c0， ∴＋≥2 ＝2c， ＋≥2 ＝2b， ＋≥2 ＝2a. 以上三式相加得： 2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 利用基本不等式求最值 [例2]　(1)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．5 D．6 (2)已知a0，b0，a2＋＝1，则a 的最大值为________． [自主解答]　(1)由x＋3y＝5