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第三章复习 本章讨论一类重要的函数——可测函数。它和连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数。 我们可以看到可测函数取极限相当方便，可测函数的极限仍是可测函数。 第一节可测函数的基本性质 Lebesgue积分,(从分割值域入手) 设S是某个命题或某个性质,若S在集E上除了某个零测度集外处处成立,则称S在E上几乎处处成立. 记为S,a.e.于E 或S,a.e. （almost everywhere） 若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在 E上几乎处处相等, 记f(x)=g(x) a.e.于E。 为方便我们把一般函数分解成两个非负函数来考察. 一般函数可分解成正部和负部如下： 定理1.2 如果 是可测集E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到 ，即 则 在E上可测。 可测函数与简单函数的关系 第二节可测函数列的收敛性 函数逼近是分析中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数. 收敛的联系（叶果洛夫定理的引入） 注: a.叶果洛夫定理中条件mE+∞不可少 第三节可测函数的构造 可测函数 定理3.2 (鲁津定理推论) 设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对δ0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数 一、可测函数的概念及其运算性质. 可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算是封闭的。 可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的。 二、可测函数列的收敛性、几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的收敛形式。 叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系。通过它，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。 勒贝格定理告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。 黎斯定理指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。 三、可测函数的构造定理。连续函数，单调函数等都是可测函数。反之不然(如迪里克雷函数)。 鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过它常常能把可测函数的问题又转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便。 四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。 如定理证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。 定理2.4令mE+∞ ， ，则 (1) 若又有 , 则f(x)=h(x) a.e.于E。 依测度收敛的性质（唯一性和四则运算） 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ 可测集E上的连续函数定为可测函数 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)ε且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数 定理3.1(鲁津定理) （1）任一可测集差不多就是开集 （至多可数个开区间的并） （3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列 （2）任一可测函数差不多就是连续函数 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε（对n维空间也成立） 则 及R上的连续函数g(x) 鲁津定理的逆定理 本章内容要点 (1).它的上极限集定义为: 定义2.1 ( 上、下极限集) (2)下极限集定义为: (3)如果集列 的上极限集与下极限集相等，即 则称集列 收敛，称其共同的极限为集列 的极限集，记为： 定义2.1：极限集 容易知道上、下极限集有关系： 定理 ：单调集列是收敛的. 单调增集列极限 ⑴点点收敛: 函数列的几种收敛定义 记作 ⑵一致收敛: 记作: 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即 ⑶几乎处处收敛: 记作: 例1：试考察函数列 {fn(x)=xn }, n=1