解析几何专题汇编7抛物线地切线问题.docVIP

第七部分、抛物线的切线问题 1．(08广东) 设，椭圆方程为=1，抛物线方程为．如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点， （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点,使为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由 （不必具体求出这些点的坐标）． 解：（1）由得， 当得，G点的坐标为， ，， 过点G的切线方程为即， 令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为， 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和； （2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个， 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。 2．已知动圆过定点，且与定直线相切. （I）求动圆圆心的轨迹C的方程； （II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:. 解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是 （II） ， ， 抛物线方程为 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 ， ， 所以， 3．（08陕西）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． （Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行； （Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 证明：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ．由韦达定理得． ，点的坐标为．，， 抛物线在点处的切线的斜率为，． （Ⅱ）假设存在实数，使． 由（Ⅰ）知，则 ， ，，解得． 即存在，使． 4．(07江苏)如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点． （1）若，求的值； （2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． 解：（1）设直线的方程为， 将该方程代入得． 令，，则． 因为，解得，或（舍去）．故． （2）由题意知，直线的斜率为． 又的导数为，所以点处切线的斜率为， 因此，为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设．若为该抛物线的切线，则， 又直线的斜率为，所以， 得，因，有． 故点的横坐标为，即点是线段的中点． 5．已知过点的直线与抛物线相交于、两点，、分别是抛物线在、两点处的切线，、分别是、与直线的交点． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）试比较与的大小，并说明理由． 解：（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为． 由方程消去得． ① ∵直线与抛物线相交于，两点， ∴，解得或． 故直线斜率的取值范围为． （2）解法1：∵，是方程①的两实根， ∴ ∴，． ∵，∴． ∵， ∴切线的方程为． 令，得点的坐标为． ∴． 同理，可得． ∵（）． 故． 解法2：可以断定． ∵，是方程①的两实根，∴ ∴，． ∵，∴．∵， ∴切线的方程为． 令，得点的坐标为． 同理可得点的坐标为． ∵． ∴点是线段的中点．故． 6．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为． （Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）证明：由题意设． 由得，得， 所以，． 因此直线的方程为， 直线的方程为． 所以，① ．② 由①、②得，因此，即． 所以三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时， 将其代入①、②并整理得： ， ， 所以是方程的两根， 因此，， 又，所以． 由弦长公式得． 又， 所以或， 因此所求抛物线方程为或． （Ⅲ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上， 代入得． 若在抛物线上，则， 因此或．即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时， ，又，， 所以，即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意． x A y 1 1 2 M N B O A B C P Q O x y l y x B A O M