2.2向量及其线性运算.pptVIP

* §2.2 向量及其线性运算 当线性方程组 这些解之间 能否用若干个解 有什么关系? 有无穷多解时, 来表达其它解? 例 是其2个解 方程组的全部解为: 其中 是任意常数. 定义２.1 称为数域Ｆ上的 如: 也称为n 维行向量 称为n维列向量. 如 (一) n 维向量 是一个 4 维向量. 是一个 3 维向量. 是一个 5维向量. 　由数域Ｆ上的n个数 其中的 称为该向量的 第个 数 第 个分量. 组成的有序数组 * 一个n维向量. 若 则 向量一般用希腊字母 若 则 若向量的分量 若向量的分量 均为复数， 带下标的小写拉丁字母 则称为有理数域上 则称为实数域上的向量; 则称为复数域上的向量. 等 的向量; ?，?，?，? 等表示， 表示向量的分量. 均为有理数， 均为实数, 若向量的分量 n 维向量 既有大小 矢量用 有向线段的长度 对平面上任一向量 平移 使 (大小相等, 2维实向量 有向线段表示. 有向线段的方向 表示矢量的方向. 是“矢量”概念的推广: 或向量. 叫矢量, 表示矢量的大小, 方向相同) 就是平面上的矢量. 又有方向的量 对空间中任一向量 平移 使 3维实向量 就是空间中的矢量. 线性方程组 的每一个解 线性方程组 的每一个解 是一个5 维向量： 是一个n 维向量, 记为 等. 或 矩阵A的每一行 是一个n维向量， 称为A的行向量; 矩阵A的每一列 记为 是一个m 维向量， 称为A的列向量. 记为 或 当两个n 维向量 注意: ≠ (1,0,3) = (1,0,3) 每个n维行向量 可看成一个1×n 每个n维列向量 可看成一个n×1矩阵. 称 ? 与 ? 相等， 记为 即若 且对应分量相等 的两个向量 的对应分量都相等时, 定义2.3 矩阵; 才相等. ?和? 只有维数相同, n 维向量 的各分量的相反数 n 维向量 所有分量均为0 ( 0 ) ( 0, 0 ) ( 0, 0, 0 ) ( 0, 0, 0, 0 ) 如? =( 3,－4, 0, 1 ), 1维零向量 2 维零向量 3 维零向量 4 维零向量 (－3, 4, 0, －1 ) 称为零向量, 称为? 的负向量, 即 定义2.2 记为 记为 则 的向量, 组成的 (二) 向量的线性运算 定义2.4 与 的各对应分量之和 如 注意 ( 2, 6, －1 )与( 0, 0, 0, 0 ) 2. 称为向量 记为 ? 与 ? 的和, 即 只有当两个向量的维数相同时 才能相加. 不能相加 = n维向量 两个n维向量 (向量的加法) n维向量, 1.可加条件: 所组成的 n维向量 + n维向量 及负向量的定义, 注意: ( 2, － 6, －1 )与( 0, 0 ) 可定义向量的 才能相减. 不能相减. 由向量的加法 减法: 只有当两个向量的维数相同时 所得到的向量, 如 ? =( 2,－7, 3, 0 ), 向量的加法、减法、数乘 向量的线性运算 数·向量 = 称为数k与向量?的乘积, 统称为向量的线性运算. 1×n矩阵 之间的线性运算. 定义2.5 (数与向量的乘法) 设 将α各分量都 即 记为 是数域F上的一个 简称为数乘向量. n维向量, 乘以 或 n×1 矩阵 向量 则 实际上就是 向量的线性运算 交换律 由于矩阵的线性运算 而向量的线性运算 故向量的 结合律 满足以下8条算律： 实际上就是1×n矩阵 的线性运算， 也满足这8条算律. 其中 是数域F上的n维向量, 是 维零向量, 是数域F中的任意数. 线性运算 或 n×1 矩阵 这8条算律， 满足 定义2.6 称为n维实向量空间. 所有n维向量 ( n维向量空间 ) 记为 实数域 上的 连同它们上面 定义的线性运算 2维实向量空间 3维实向量空间 4维实向量空间 组成的集合, 2维向量空间 是坐标平面上 全体矢量构成的空间. 为始点和终点重合的矢量, 即长度为零的矢量. 3维实向量空间 是空间中 全体矢量构成的空间. 为始点和终点重合的矢量, 即长度为零的矢量.