九年级几何综合题精选.docVIP

几何探究题 1、（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点． ①如图1，求证：； ②探究：如图1， ； 如图2， ； 如图3， ． （2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点． ①猜想：如图4， （用含的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． （1）①证法一：与均为等边三角形， ， 且 ， 即 证法二：与均为等边三角形， ，且可由绕着点按顺时针方向旋转得到 ②，，．（2）①②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，， ，即． ． ，， ， 证法二：同上可证 ． ，如图，延长交于， ， 证法三：同上可证 ． ． ， 即 2、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. （1）解法一：如图25-1 过A作AE⊥CD，垂足为E . 依题意，DE=. 在Rt△ADE中，AD=. 解法二：如图25-2 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED是等边三角形 . ∴AD=DE=9－4=5 . （2）解：如图25-1 ∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为： S=PD·h =(9－x)·x·sin60° =(9x－x2) =－(x－)2＋. 由题意，知0≤x≤5 . 当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. （3）证法一：如图25-3 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 于是9－x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP . △PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求. 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 . 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. 证法二：如图25-4 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 于是9－x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 . 过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ . 易知∠1=∠C . ∴PQ∥BC . 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD ∴MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM ∴四边形PDQM是菱形 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= 已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论． 答：对图（2）的探究结论为____________________________________． 对图（3）的探究结论为_____________________________________． 证明：如图（2） 结论均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N， 因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC 在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2 在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2 在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2 在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2 所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2 PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2 因为MN⊥