2006年c题易拉罐形状和尺寸的最优设计1.ppt

C题目: ①取一饮料容量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表。 ②设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比等等。 ③考虑壁厚及顶盖厚和壁厚不同的情况下求最优模型。 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 在对易拉罐的形状进行研究时，首先分析出模型可能需要的数据，利用相应的工具多次测量求平均均值确定易拉罐各项尺寸的大小。 简化易拉罐的形状为一圆柱体时，确定出高度和半径的比值关系，并与实际测量数据进行比较分析，判断易拉罐设计的合理性； 易拉罐形状为组合体时，求解过程仍以材料最省为最优设计，建立一个广泛的最优设计模型。 问题分析 ?1、假设温度，湿度等因素变化的时候，易拉罐形状和尺寸不随之变化。 2、假设整个易拉罐用同种材料制成。 3、假设易拉罐顶盖和下底盖都是规则的平面。 4、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且壁很薄。 5、假设易拉罐都是规则的多面体。 模型假设 符号说明: r : 易拉罐的半径 h : 易拉罐的高 V : 罐内体积 b : 材料的厚度 S : 易拉罐的表面积 SV : 材料的体积 α ：待定参数 其中r,h是自变量, 所用材料的体积S是因变量, 而b和V是固定参数, α是待定参数 模型建立和求解 一、简化模型 把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。 即圆柱的直径和高之比为1:1 表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm) 雪碧 蓝代 可乐 平均数 罐总高度H 122.50 122.50 122.80 122.60 上内高 5.20 5.00 4.80 5.30 下内高 5.00 5.00 5.10 5.00 上盖厚 0.30 0.30 0.30 0.30 下底厚 0.28 0.27 0.30 0.27 侧壁厚 0.12 0.13 0.13 0.13 罐身直径2 60.30 60.60 60.50 60.47 上内直径 57.40 57.10 57.20 57.23 下内直径 50.40 53.00 50.20 51.20 上外高 13.80 13.60 13.50 13.63 下底拱高 9.90 9.80 10.20 9.90 模型二（改进）： 实际上,易拉罐的壁厚是不一样的，则在不忽略壁厚情况下计算。 补充假设：除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同为b 饮料罐侧面所用材料的体积为： αb ：顶壁厚度 , ②饮料罐顶盖所用材料的体积为 ③饮料罐底部所用材料的体积为 所用材料的体积 ： 罐内体积 V(r, h)： 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以 , 于是我们可以建立以下的数学模型： 记 其中是SV目标函数, 是约束条件, V是已知的(355ml), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的 r,h和α 使得r,h和测量结果吻合. 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小. 求临界点:令其导数为零得 测量数据为 , 即 即 顶盖厚度是其他材料厚度3倍 模型验证及进一步的分析 有人测量过顶盖的厚度约为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其容积为： 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. 可以把饮料罐的体积看成两部分,一是锥台,二是圆柱体. 进一步讨论 此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压.