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第十三章 球函数 在球坐标系下，三类问题关于空间部分变量分离成l阶球贝塞尔方程和l阶球函数方程 对于l阶球贝塞尔方程: 其解为： 而球函数方程可进一步分离变量 §44. 轴对称球函数 当所考虑的问题具有轴对称时，选取对称轴作为极轴z,则所考虑的问题和无关。这时球函数退化为l阶勒让德方程的解，即 其解退化为l 阶多项式——称为勒让德多项式，记为。 §44.1 勒让德多项式 幂指数形式。 l阶勒让德方程的解为 当l=2k时，退化为为最高指数的多项式； l=2k+1时，退化为为最高指数的多项式。 即无论l 为偶数还是奇数总有一特解为勒让德多项式 若调整勒让德多项式（无论l 为偶数还是奇数）最高次幂xl的系数，则利用递推关系 ，可将其余系数一一指出： …… ，则勒让德多项式为 ，前几个勒让德多项式为： P0(x)=1, P1(x)=x, , , 勒让德多项式的微分形式 勒让德多项式的积分形式 ，容易证明， §44.2 勒让德多项式的性质 奇数阶勒让德多项式只含有x的奇次幂项，偶数阶勒让德多项式只含有x的偶次幂项 不同的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交，而。 勒让德多项式的模Nl 勒让德多项式是完备的，可作为基本函数族进行广义傅里叶展开 母函数与递推公式 由于勒让德多项式乘以R(r)是具有轴对称性，θ角在均有意义的稳定场的特解。因此，在半径为R的球的北极置的单位正电荷的电势应为稳定场的解，于是有 。 因此称为勒让德多项式的母函数。利用函数可推出 练习 P344.3 §45. 一般的球函数 球函数方程： 对于不具有对称性的问题必须求解缔合勒让德方程。 §45.1 缔合勒让德方程 将缔合勒让德方程作代换，则 代入缔合勒让德方程得 ， 应用求导的莱布尼兹规则： 对勒让德方程，求导m次，其结果是： 比较两方程有 是缔合勒让德方程满足自然边界条件（x=±1有限）的解，即缔合勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，其本征值为l(l+1) (l=0,1,2……)，其相应的本征函数称为缔合勒让德球函数，记为 ，又由于是l次多项式，则m的最大取值为l，即m=0,1,2…l。根据勒让德多项式的微分形式可得缔合勒让德函数的微分形式，和勒让德多项式类似。缔合勒让德函数也有积分形式 。 §45.2 缔合勒让德函数的性质 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数在区间（-1，+1）上正交 缔合勒让德函数的模 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数是正交完备的，可作为基本函数簇对f(x)进行广义傅里叶级数展开 缔合勒让德函数的递推公式 利用勒让德多项式的递推公式 ，对x求导m次有 ， 利用勒让德多项式的母函数(r1)： ，比较两边rk+1的系数： ， 再对x求导m-1次得 ，代人前式有 ，两边遍乘， 则得缔合勒让德函数的递推公式 §45.3 球函数 一般球函数的表示形式 因 则一般球函数又可表示成 一般的球函数的性质 独立的l阶球函数共有2l 球函数中任意两个在球面s上（即，）正交。 球函数的模 用， ，因此 任一函数可在球面s上按球函数展开 或作复数形式的展开 用球函数把下列函数展开：① ② 解：利用 ，，，，， 则 ①② 用球函数把下列函数展开 ① ②例3. 在半径为a 的球外（ra）求解 解：球外部分的解为： 由边界条件有 则，