2007浙江大学生高数竞赛真题(附答案).docVIP

2007浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 一、计算题（每小题12分，满分60分） 1．求 解 原积分= = 2．求 解 由洛比塔法则， 原极限= 而 3．求p的值，使 解：当取满足即时 积分 4．设，，且，求的表达式 解：由条件单调增。且 易知，若不然，不妨设 则当时 矛盾 同理可让 5．计算，其中S为圆柱面，（0z1） 解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数 原积分= 二、（满分20） 设 求（1） （2） 解： （1） （2） 三、（满分20分） 有一张边长为的正方形纸（如图），、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合， 与重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点重合，D落在轴正向上，此时，求： （1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程； （2）此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。 解：圆柱面为 D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0） （1）C点坐标为（0，4，4） 过C，E两点的直线方程为 放转曲面方程 （2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为 四、（满分20分）求函数在的最大值、最小值。 解：在D的最大、最小值即为在 的最大、最小值 ，而，即最大值为1 ，而即最小值为 五、（满分15分） 求 解： kn时 六、（满分15分）证明：， 证明： 只须证 同理 且 当时，，即，得证 （非专业组） 1．计算，（a0，b0） 解：原积分= = 2. 设幂级数的系数满足，，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数。 解：则 即，且 解方程 由 3. 已知二阶可导，且，，R （1）证明 ， R （2）若，证明R 证明：（1）记 则 即 ⑵ 即 4．求 由洛比塔法则原极限= 5．设 ，求 解： 6． ，（） 解：记原积分为I则 7.设函数满足方程，，R，求的极值。 解：由条件， 有 解方程得 含 得可能极值点 k整数 当时有极大值 时极小值 8.证明当时， 证明令，则，要证不等式为＜，即要证＜，而且＜0， ＞得证 9．求 解：原极限= 10．设，求a，b的值。 解：当（时） 即 而 11.设 ，求 解： n≥2 12.某水库的泄洪口为圆形，半径为1米，现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方（如图）问闸门下降多少米时，泄洪口被盖住一半？ 解：取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴，垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为，闸门（原始位置）为,下降后为两圆交点为： 其中 或 盖住的面积为  13. 已知是[0，1]上二阶可导函数，且， ，证明：使得。 证明：＜1 第 6 页 共 7 页 1米 2米 A C B D E