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第十章习题课 空间中曲线积分与路径无关的条件 例2. 计算 例8. 计算曲面积分 例17 计算 例18. 例19. 计算曲面积分 例20. 设 ? 是曲面 例21. 例22 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为?的 其中, 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心 (1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄 像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为H =0.25 R , 卫星绕地球一周的时间为 T , 试求 (2) 在 解: 如图建立坐标系. 的时间内 , 卫星监视的地球 表面积是多少 ? 多少 ? (2) 在 时间内监视的地球表面积为 点击图片任意处 播放开始或暂停 注意盲区与重复部分 其中S0 为盲区面积 * 曲线积分与曲面积分习题课 一、曲 线 积 分 第一类的曲线积分 第二类的曲线积分 定义 联系 计 算 与 路 径 无 关 的 五 个 等 价 命 题 条件 等 价 命 题 （1）在D内曲线积分 与路径无关 （2）沿D内任意闭曲线的曲线积分 在D内成立 与路径无关的五个等价命题 条件 函数 在单连通区域 内具有一阶连 续偏导数 等价命题 （1）曲线积分 在 内与路径无关 （2）沿 内任意闭曲线的曲线积分 （4）在 内存在函数U使 （5） 内成立 二、曲 面 积 分 第一类的曲面积分 第二类的曲面积分 定义 联系 计 算 三、积分运算关系 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3.三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 梯度 通量 旋度 环流量 散度 四、场论初步 五、曲面面积的计算法 S Dxy （六）例题： 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 例. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! l 思考：若 s1 s2 中? 是球面 解: 利用对称性 用重心公式 为一般解 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 例14 设三角形区域为? , 方向向上, 则 方法2 利用斯托克斯公式 例15 解 设在右半平面 x 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 提示: 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 例16 其中?由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ?上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. * *