第二节 插值法(2.1).ppt

第二章 插值法 拉格朗日（Lagrange）插值 牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 插值方法及各种方法的余项估计 §2.1 引言 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中，不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 xi 上的值（包括函数值f (xi)，导数值f ?(xi)等,i = 0,1,2,…,n),虽然其函数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式，因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。 如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时，可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti))构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式），用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似解析表达式也能求导，讨论其各种性质。 又如：据资料记载，某地区每隔10年进行一次人口普查， 自1930年到1990年的统计结果如下： 年 份: 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口（万）: 123 132 151 180 203 227 252 通过对上述数据的观察和分析，我们希望能估计出这六十年期 间任何一年（例如1965年）的人口总数，或者预测2000年该地区 的人口数量 。利用插值方法就可以解决这一类问题。 另一方面，有些函数，虽然有解析表达式，但因其过于复杂，不便于计算和分析，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。如在积分 中，当f (x)很复杂，要计算积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。 解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离散点 (xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函数形式 ?(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三角函数等，要求 ?(x)通过点?(xi)=f (xi) (i = 0,12,…,n),由此确定函数?(x) 作为f (x)的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数 的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下它 在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法， 将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。 用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其基本问题是： 已知函数f (x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0,x1,…,xn处的函数值yi = f (xi) (i=0,1,…,n),求一个次数不超过n的多项式： 使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件： ?n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，[a,b]称为插值区间。 y x y0 yn y2 x0 x1 x2 xn y1 因此，所谓插值，即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x，要求对应的f (x)，具体做法是按上述方法构造?n(x)以?n(x)近似f (x)。 - - - - 从几何上看（如图所示），n次多项式插值就是过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线 近似曲线y = f (x) : 插值法是求函数值的一种逼近方法，是数值分析中的基本方法之一，作为基础，后面微分，积分，微分方程在进行离散化处理时，要用到，作为一种逼近方法，本身也有广泛的应用价值，如在拱桥建