平面上直线的置关系和度量关系.docVIP

平面上直线的位置关系和度量关系 知识要点： 1. 直线、射线、线段的联系和区别 联系： 射线、线段是直线的一部分，把射线反向延长，而线段向两方延长，就得到一条直线。 区别： 直线没严密的定义，只能说明像一根拉紧无限长的线，可用两个大写字母或一个小写字母表示，无始无终，没有端点，向两方向延伸，并且两点确定一条直线。射线是直线上一点和它一旁的部分，可用两个大写字母表示，顶点字母写在前面，也可用小写字母表示，有一端点，可向一方向延伸，线段是直线上两点和它们之间的部分。可用两大写字母表示，或一个小写字母表示，有两个端点，不可延伸，并且两点之间，线段最短。 2. 角的定义： ①有公共端点的两条射线组成的图形。 ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置组成的图形。 3. 线段的比较、角的比较： 方法一：度量法 线段的度量工具是刻度尺。 角的度量工具是量角器。 方法二：叠合法。 4. 线段与角的换算： 5. 线段的中点： 它是把一条线段分成两条相等的线段的点。 6. 角的平分线是把一个角分成两个相等的角，并且以这个角的顶点为端点的一条射线。 7. 角的分类： 特殊角：周角、平角、直角、0°角 关系角： 数量关系的角：互为余角、互为补角 位置关系的角：对顶角、同位角、内错角、同旁内角 数、位关系角：邻补角 范围角：钝角、锐角 8. 角的性质： ①互余的两个角和为90° ②互补的两个角和为180° ③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等 9. 点与直线的位置关系 ①点在直线上 ②点在直线外 10. 平面内不重合的两直线的位置关系有平行、相交。 11. 平行线的几个结论： ①平行公理及推论： 公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 ②平行线的性质与判定： 两直线平行 12. 垂直的概念、结论 ①两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，这两条直线互相垂直，其中每一条直线叫另一条的垂线，交点叫垂足。 ②在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。 ③在平面内，如果一直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条。 ④在平面内通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 ⑤垂线段最短。 ⑥两平行线的所有公垂线段都相等。 ⑦两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短。 【典型例题】 例1. （几何图形中的角的简单计算） 如图，AB//CD，P为AB、CD之间的一点，若∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC。 分析：要求∠BPC的大小，先要联想它与已知的∠1、∠2可建立什么联系，及由AB//CD得到什么结论，可尝试过P点引AB的平行线（在∠BPC内部或外部）也可以延长CP交AB于一点E。此题只要想到辅助线的作法一点都不难了。 解：方法一：过P作PL//AB，如图 则∠1=∠3 又∵AB//CD ∴PL//CD ∴∠2=∠4 又∵∠1=32°，∠2=25° ∴∠BPC=∠3+∠4=∠1+∠2=32°+25°=57° 方法二：延长CP交AB于E ∵AB//CD ∴∠5=∠2 ∵∠2=25°，∴∠5=25°，又∵∠1=32° ∴∠BPC=∠1+∠5=32°+25°=57° 说明：此方法二里涉及三角形一外角等于不相邻两内角的和，还可尝试过C点作PB的平行线。 例2. （线段长度的计算）已知AB=11cm，C为AB上一点，M、N分别是AC、CB的中点，求MN的长。 分析：这道题要根据已知准确地画图，理解中点的含义，观察MN与已知线段的联系。 解：根据已知画出草图如下： ∵M、N分别为AC、CB的中点 答：MN的长为5.5cm。 例3. 如图A、B、C、D在一条直线上，那么图中共有多少条线段？n个点在一条直线上，图中共多少条线段？ 分析：这是一道根据线段的定义按照一定的顺序归纳线段的条数，可按从左到右的顺序去数线段的条数，分别以A、C、D为端点，做到不重复不遗漏。譬如，AB与BA是同一条线段，不能重复。 解：如图中以A为端点，从左往右数有线段AC、AD、AB共3条 以C为端点，从左往右有CD、CB共2条 以D为端点，只有DB 1条 所以A、B、C、D在同一直线上，共有3+2+1=6条线段 如果图中有n个点在一条直线上，方法一样。 对于左边起第一个点它与后面（n-1）点构成（n-1）条线段 对于左边起第二个点，可构成（n-1-1）=（n-2）条 …… 对于右边起第二个点，可构成1条 所以n个点在一条直线上，图中有 例4. （角的换算） ①把18.18°化成度、分、秒的形式。 ②把59°31’30’’化成度的形式。 ③当钟表的时间为12点30分钟时，时针与分针构成多少度的角？ ④一个角∠α的余角