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* * * * * * * * * * * * * * * * 電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 山田 博仁 電磁場の波動方程式 6/9講義分 自由空間でのMaxwell方程式 ファラデーの電磁誘導則 アンペール?マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則 磁場に関するガウスの法則 Maxwell方程式 変位電流 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ) 等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 真空中 波動方程式の導出 ベクトル恒等式 第1式 第2式 0 従って、 波動方程式 練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう 両辺の rotation をとる ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している 第3式 波動方程式導出においての変位電流の役割 変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、 仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか? 変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。 第1式の rotation をとると、 第2式 0 従って、 となり、 静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。 波動方程式の意味 ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定 今ここで、 と置くと、 後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は光速度 c で与えられ、 つまり、 E(x, t)　→　 E(z, t) 波動方程式の解 の解は、 波動方程式 で与えられる。 (教科書 p.200 参照) + z 方向に速度 v で進む波 - z 方向に速度 v で進む波 x y z (進行波) (後退波) より一般的には、波動方程式 の解は、 で与えられる。 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 w は波の角周波数 参) 伝送線路と電信方程式 x=0 ZL 受電端 送電端 E R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m) L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m) G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) x 電信方程式あるいは伝送方程式 上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる 線路上での電圧波と電流波の伝搬速度 v は、 であることが分かる 無損失線路(R = G = 0)の場合、 参) 伝送線路上の電圧波の伝搬 -x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰 +x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰 ZL E x 入射波 反射波 ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、?x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波 x vp: 位相速度 ここで、 は波の振幅を表し、α 0 (α 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する x 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度: vgという 線路上の位置 x での電圧 進行する正弦波 +x 方向に伝搬する正弦波 波数 角周波数 位相角 x = 0 x = λ x1 t = T t = 0 t1 ある時刻(t = t1)について見てみると、 ある場所(x = x1)について見てみると、 +x -x 0 +t -t 0 波の伝搬速度 従って、波数と角周波数の比は、 平面電磁波 波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく x y z 0 波面 (等位相面) x1 k k?x – w t を波の位相と呼ぶ。これがある一定値 a を保持したまま(等位相)、時間発展して いく様子は、等位相面(波面)が平面からなる波が波面に垂直方向に伝搬する様子を表す x2 x3 k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている) 平面電磁波 今、自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される電磁波を取り上げる。 角周波数 w で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波 kは波数で、 x y z E Ex0 Ey0 Ez0 平面電磁波 に代入、 + z方向に伝搬する電磁波 0 0 0 0 x, y 方向には一様 電場の波と磁場の波の間には位相差φがあると仮定している φはゼロでなければならない 平面電磁波 に代入、 同様に、 0 0 0 0 以上の関係より、 ここで、 の関係を用いた となる φ = 0 平面電磁波 x y z E H Ex Hy Ey E と H