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例谈双直角三角形构造与应用 　　数学来源于生活，又服务于生活.解直角三角形的知识就是这一理念的重要体现，成了近几年中考命题的亮点和热点.对于这一部分题目只要抓住双直角三角形这一核心，在双直角三角形中应用锐角三角函数和勾股定理等知识，问题便可迎刃而解.现以2011年中考有关解直角三角形的应用问题为例，进行简要评述，供参考. 　　一、双直角三角形的特征 　　1.约定 　　如果两个直角三角形有一条直角边重合，另一条直角边共线，那么就称这两个直角三角形为双直角三角形. 　　2.常见类型 　　(1)两个三角形在公共直角边同侧 　　如图1，此时的双直角三角形有一个公共直角边(CD)重合，另一条直角边在同一条直线上，满足BD-AD=BA. 　　(2)两个三角形在公共直角边两侧 　　如图2，此时的双直角三角形有一个公共直角边(CD)重合，另一条直角边也在同一条直线上，满足BD+AD=BA. 　　3.特点 　　??共边是桥梁和纽带，通过公共边可应用勾股定理和三角函数等数学知识建立方程和等式，从而使得问题可解. 　　二、双直角三角形的构造与应用 　　1.构造双直角三角形探求高度 　　例1(2011年淮安市中考试题)图3为平地上一幢建筑物与铁塔图，图4为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=30 m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度. 　　分析要求铁塔CD的高度，可过A点作CD的垂线AE，E为垂足，构造双直角三角形△AED和△AEC,在两个三角形中分别求出ED和EC的长度，即可求得铁塔CD的高度. 　　解BD=30 m， 　　在A点测得D点的俯角为45°， 　　测得C点的仰角为60°， 　　所以AB=BD=DE=AE=30， 　　所以tan60°=CEAE=CE30， 　　得CE=303. 　　所以铁塔CD的高度为 　　CD=DE+CE=30+303≈82. 　　答：铁塔CD的高度为82米. 　　2.构造双直角三角形探求设计方案 　　例2(2011年宜宾市中考试题)如图5，飞机沿水平方向(A、B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行的距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求： 　　(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； 　　(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤. 　　分析本题为开放题，答案不唯一.解决问题的关键仍然是连结MN、MB、MA构造双直角三角形△MAN和△MBN,由AN=AB+BN构造方程可求解. 　　解(1)如图6，测出飞机在A处对山顶的俯角为α，测出飞机在B处对山顶的俯角为β，测出AB的距离为d，连结MN、AM、BM. 　　(2)第一步骤：在Rt△AMN中， 　　tanα=MNAN，所以AN=MNtanα. 　　第二步骤：在Rt△BMN中， 　　tanβ=MNBN，所以BN=MNtanβ. 　　代入AN=d+BN中， 　　解得MN=d·tanα·tanβtanβ-tanα. 　　3.构造双直角三角形探求两点间的距离 　　例3(2011年苏州市中考试题)如图7，小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1∶3，点P、H、B、C、A在同一个平面内，点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC. 　　(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于度； 　　(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732). 　　分析本题是双直角三角形模型的一种演变，其中一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边重合，这里公共边仍起着桥梁作用.核心仍然是通过两个直角三角形完成两点间的距离的求解. 　　解(1)30. 　　(2)设过点P的水平线为PQ，则由题意得 　　∠QPA=15°,∠QPB=60°. 　　所以∠PBH=∠QPB=60°， 　　∠APB=45°. 　　又因为tan∠ABC=1∶3， 　　所以∠ABC=30°. 　　所以∠ABP=90°，∠PAB=45°. 　　所以在Rt△PBH中， 　　PB=PHsin∠PBH=30sin60°=203. 　　在Rt△PBA中， 　　AB=PB=203≈34.6. 　　答：A、B两点间的距离约34.6米. 　　4.构造双直角三角形探求圆的半径 　　例4(2011年淮安市中考试题)如图8是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=7