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谈谈初高中数学教学 中的几个衔接问题 2010年暑期培训 构造三角方案一（面积法） 一、认识正弦 1、面积法定义正弦 类比矩形面积公式： 定义：边长为1的正方形面积为1，则边长分别为a、b的矩形面积为ab 定义：边长为1，有一个角为A的菱形面积为,则容易得到平行四边形ABCD的面积为 取它的的一半，得到三角形面积公式: 2、正弦的基本性质 由定义容易得出： 3、直角三角形中锐角的正弦 变形得： 二、正弦定理及应用 1、把三角形面积公式 同乘以2除以abc 得： （正弦定理） 2、用正弦定理解几何问题 (1) 三角形中等边对等角 （2）若两个三角形的三个角对应相等，则对应边成比例 （3）三角形全等的判定法 3、和角的正弦公式 对锐角、有 证明：如图，作ADBC, 设, 推论：当A不是钝角时，有 4、特殊角的正弦值 在公式： 中 （1）令 得 （2）令 得 （3）令，得 5、勾股定理 证明：在三角形ABC中，若, 则 构造三角方案二（线段法） 引进锐角三角比 已知锐角，P是射线上不重合于O的任意一点，作PQ垂直于另一条射线，Q为垂足，定义： 规定： 二、两角和与差的正弦、余弦 三、正弦定理的引入 在Rt△ABC中，若，则： ，， 变形得： ，， 所以 那么，在任意三角形中，这一关系式是否 成立呢？ 思路一、 ①在锐角△ABC中，作，则： 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中， 所以 = 即 同理：,所以 ②在钝角△ABC中（C为钝角）， 作，则： 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中， 所以 =，…… 所以 我们把此结论称之为：正弦定理 这种思路是把斜三角形通过作垂线转化为直角三角形而得出结论。 思路二、 在直角三角形中，是通过斜边c建立相等关系得出结论的，斜边实质是外接圆的直径，在任意三角形中，我们是否也可以利用外接圆的直径建立等量关系呢？ 如图：作△ABC的外接圆， 并作直径， 在Rt△ABD中， ， 因为D=C（同弧所对的圆周角相等），所以， 同理：， 所以 （扩充的正弦定理） 四、余弦定理的引入 在Rt△ABC中，若，则：，勾股定理，即三边长的关系。那么，在任意三角形中，三边长有何关系呢？ 在非直角△ABC中， 若A为锐角，作， 由勾股定理得： 相减得： 其中： 代入上式得： ②若A为钝角，同理可得 即：锐角对边的平方等于其他两边的平方和减 去这两边中的一边和另一边在这边上射影乘积 的两倍。 钝角对边的平方等于其他两边的平方和加上这两边中的一边和另一边在这边上射影乘积的两倍。 我们把此结论称之为：广勾股定理。 中， ②中， 代入广勾股定理合二为一得： 即在任意三角形ABC中都有： 同理： 我们把此结论称之为：余弦定理 构造三角方案三（坐标法） 引进任意角三角比 对任意角，将其置于平面直角坐标系，顶点与原点O重合，始边与 x轴正半轴重合，在终边上任取一点P (x , y),它与原点的距离 （r0）,规定： 二、两角和与差的正弦、余弦 由 得： 化简得： 再由诱导公式得其他公式 三、正弦定理的引入 如图： , , 同理： 同除以得： 倒数得： 教材中推导正弦定理的方法不理想，原因有： ①研究边角关系，和面积并无关系，既不易想到，也无必要，简单事情复杂化。 ②可能会误导学生以为正弦定理是在坐标法的框架下推导的，没有坐标法就没有正弦定理吗？ ③得到后为何要倒过来呢？目的不明确 四、余弦定理的引入 如图： , 由得： 即： 初中的推导方法较为烦琐，为简化起见，教材中用距离公式推导是合理的。 另：全国教材是把解斜三角形放在向量内容中的，其目的是用向量来引入正弦定理和余弦定理，这样安排欠妥，原因：①破坏了三角内容的完整性，解斜三角形就是三角内容，怎么能从三角内容中分离出去呢？②学生学三角和解析几何是为今后学微积分打基础的，向量和微积分并无多少联系，没有必要。