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罗尔定理的推广及其应用 摘要 罗尔定理是微分中值定理中最基本的定理，也是最重要的定理之一，是沟通函数与其导数的桥梁。一般的数学分析教材中叙述的罗尔定理的条件要求是相当苛刻的，既要求函数在闭区间上连续、在开区间内可导，又要求函数在区间端点处的函数值相等。在这个背景下，本文通过放宽条件推导验证得出了更一般的结论，即广义的罗尔定理；此外还研究了罗尔定理的应用，如函数零点问题、方程根的个数问题，等等，让我们更好的了解这个定理的重要性。 关键词：罗尔定理；推广；广义罗尔定理；应用；零点问题；根的个数 ABSTRACT Rolle theorem is differential mid-value theorem is the most basic theorems and one of the most important theorem, was one of its derivative communication function bridge. General mathematical analysis textbook of narrative Rolle theorem requirement is quite harsh, requests the function is continuous on the closed interval, in open interval differentiable and demand function in the interval tip function values equal. Under this background, this paper through relaxing conditions obtained is more general verification conclusion that the generalized Rolle theorem; In addition also studied the application of Rolle theorem, such as function zero problems, the number of root, equation of wait, and let us better understand the importance of this theorem. Keywords: Rolle theorem; Promotion; Generalized Rolle theorem; Application; Zero problems; Root number of 目录 1 引言 1页 2 罗尔定理的推广 1页 2.1区间两端极限都存在下的推广 1页 2.2区间端点处极限不存在下的推广 3页 3 罗尔定理的应用 7页 3.1解决函数的零点问题 7页 3.2应用罗尔定理推导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理 10页 3.3解决根的个数问题 11页 3.3.1结合不同中值定理证明方程根的个数问题 11页 3.3.2罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用 12页 4 总结 13页 参考文献 14页 致谢 15页 1 引言 函数与其导数是两个；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的中值定理是一整个微分学的理论基础。 设函数在上连续，在内可导，且 , 那么至少存在一点,使得 . 罗尔定理对所涉及的函数的要求很是苛刻，所以我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对它的条件进行放宽，那么放宽条件后我们能不能得到相同或类似的结论呢?此文所研究的就是放宽条件后的的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）的相关结论。而且还研究了罗尔定理的应用，如解决函数的零点问题、方程的根的存在个数问题等等。 2 罗尔定理的推广 2.1区间两端极限都存在下的推广 推论1 设函数在区间上连续，在区间内可导， ， 其中A为常数，则至少存在一点，使得 . 推论2 设在区间上连续,在区间内可导,且 , 则至少存在一点,使得 . 推论3 设函数在区间上连续,在区间内可导,且 , 则至少存在一点,使得 . 推论 4 设函数在区间上连续,在区间内可导,且 , 则至少存在一点,使得 . 推论 5 设函数在区间上连续，在区间内可导，且 ， 其中A为有限实数，则至少存在一点，使得 .