线性代数3.3矩阵秩.pptVIP

线性代数3.3矩阵秩.ppt

此“教育”领域文档为创作者个人分享资料,不作为权威性指导和指引,仅供参考
  1. 1、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。。
  2. 2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  3. 3、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
  4. 4、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
  5. 5、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们
  6. 6、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
  7. 7、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
线性代数3.3矩阵秩

3.3 矩阵的秩 一 二 矩阵秩的概念 求矩阵秩的方法 一、矩阵秩的概念 定义1 在 阶矩阵 中,任取 行与 列 ), ( 位于这些行列交叉处的 个元,不 中所处的位置次序而得的 阶行列式, 改变它们在 称为矩阵 的 阶子式。 阶矩阵 的 阶子式共有 个。 定义2 设在矩阵 中有一个不等于0的 阶子式 ,且所有 阶子式(如果存在的话)全等于0, 称为矩阵 的最高阶非零子式,数 称为矩 的秩,记作 。并规定零矩阵的秩等于0。 那么 阵 由行列式的按行(列)展开性质可知,在 中当所有 阶子式全等于0,所有高于 阶的子式也全为0,因此把 阶非零子式称为最高 的最高阶非零子式 的秩 就是 的非零子 阶非零子式,并由此可知矩阵 可能不止一个。而 式的最高阶数。 【注】 (1)若矩阵 中有一个 阶非零子式,则 ;若 中所有 阶子式全为0,则 (2)若 为 矩阵,则 。 。 (3)对于 阶矩阵 ,若 ,则 ;若 ,则 。因此,可逆矩阵又称满秩矩阵, 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称降秩矩阵。 (4)由于行列式与其转置行列式相等,因此 的子式与 的子式对应相等,从而 (5)该定义揭示了矩阵秩的本质。 例4 求矩阵 和矩阵 的秩,其中 解 在 中,容易看出一个二阶子式 ,而 的三阶子式只有一个 ,经计算可知 ,因此 。 是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知 的所有四阶子式全为0;而以3个非零行的非零元为对角 元的三阶行列式 是一个上三角形行列式,它显然不等于0,因此 二、求矩阵秩的方法 从上可知,对于一般的矩阵,当行数与列数较高 时,按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行的行数,一看便知毋须计算。因 此,自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形,但矩阵 经初等变换后它的秩是否保持不变呢?下面的定理对 此作出肯定的回答。 定理1 若 ,则 。即,矩阵的 初等变换不改变矩阵的秩。 证明 先证明:若 经一次行初等变换化为 ,则 。为此 设 ,且 的某个 阶子式 。 当 或 时,在 中总能找到与 相对应的 阶子式 ,由于 或 或 ,因此 ,从而 。 当 时,分三种情形讨论: (1) 中不含第 行; 中同时含第 行和第 行; 中含第 行但不含第 行。 (2) (3) 对于(1)(2)两种情形,显然 对应的 阶子式 ,从而 ; 中与 对情形(3),由 若 ,则因 中不含第 行知 中 行的 阶非零子式,从而根据情形 ;若 ,则 。 。 有不含第 (1)知 也有 以上证明了若 经一次初等行变换变为 则 。由于 亦可经一次初等行变换 ,故也有 。因此 。 , 变为 经一次初等行变换矩阵的秩不变,因而经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。总之,矩阵的初等 行变换不改变矩阵的秩。 若 经初等列变换变为 , 经初等行变换 ,由上面证明知 。而 , ,因此 。 变为 总之,若 经有限次初等变换变为 ),则 。 (即 【注】求矩阵 秩的方法: 行阶梯形, 行阶梯形中非零行的行数,即是它的秩。 例5 求矩阵 的秩。 解 因为 所以,秩(A) 。 【注】 矩阵的秩有如下性质: (1)设A为n阶方阵,则A可逆当且仅当 (即 (2) ) (3)设A为 矩阵,则 ≤ 。 ,若 可逆时, 若 可逆时, 。 (4) 。 (5)如果 ,则 ( A ) + ( B ) ≤ n。 。 (6)

文档评论(0)

bokegood + 关注
实名认证
文档贡献者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档