离散数学64几种特殊图.pptVIP

课件 6.4 几种特殊的图 6.4.1 二部图 二部图的充要条件 6.4.2 欧拉图 欧拉回路(通路)及其存在的充要条件 6.4.3 哈密顿图 哈密顿回路(通路)及其存在的必要条件和充分条件 6.4.4 平面图 二部图 定义6.19 设无向图 G=V,E, 若能将V 分成V1 和 V2 使得 V1?V2=V, V1?V2=?, 且G中的每条边的两个端点都一个 属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为V1,V2,E, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G是简单图, 且V1中每个顶 点均与V2中每个顶点都相邻, 则称G为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 二部图的判别定理 定理6.7 无向图G=V,E是二部图当且仅当G中无奇长度 的回路 证 必要性. 设G=V1,V2,E是二部图, 每条边只能从V1到 V2, 或从V2到V1, 故任何回路必为偶长度. 充分性. 不妨设G至少有一条边且连通. 取任一顶点u, 令 V1={v | v?V ? d(v,u)为偶数}, V2={v | v?V ? d(v,u)为奇数} 则V1?V2=V, V1?V2=?. 先证V1中任意两点不相邻. 假设存 在s,t?V1, e=(s,t)?E. 设Γ1, Γ2分别是u到s,t的短程线, 则 Γ1?e?Γ2是一条回路, 其长度为奇数, 与假设矛盾. 同理可 证V2中任意两点不相邻. 实例 实例 例1 某中学有3个课外活动小组:数学组, 计算机组和生物 组. 有赵,钱,孙,李,周5名学生, 问分别在下述3种情况下, 能 否选出3人各任一个组的组长? (1) 赵, 钱为数学组成员, 赵,孙,李为计算机组成员, 孙,李, 周为生物组成员. (2) 赵为数学组成员, 钱,孙,李为计算机组成员, 钱,孙,李,周 为生物组成员. (3) 赵为数学组和计算机组成员, 钱,孙,李,周为生物组成员. 实例(续) 解 欧拉图 欧拉图 欧拉通路:经过所有边且每条边恰好经过一次的通路 欧拉回路:经过所有边且每条边恰好经过一次的回路 欧拉图:有欧拉回路的图 说明： 上述定义对无向图和有向图都适用 规定平凡图为欧拉图 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路 环不影响图的欧拉性 欧拉图判别定理 定理6.8 无向图G具有欧拉回路当且仅当G是连通的且无 奇度顶点. 无向图G具有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当G是连 通的且有2个奇度顶点, 其余顶点均为偶度数的. 这2个奇 度顶点是每条欧拉通路的端点. 推论 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且无奇度顶点 实例 欧拉图判别定理(续) 定理6.9 有向图D有欧拉回路当且仅当D是连通的且所有 顶点的入度等于出度. 有向图D有欧拉通路、但没有欧拉回路当且仅当D是连通 的且有一个顶点的入度比出度大1、一个顶点的入度比出 度小1, 其余的顶点的入度等于出度. 推论 有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的且所有顶点的 入度等于出度. 实例 周游世界问题(W.Hamilton, 1859年) 哈密顿回路与哈密顿通路 哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路. 哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路. 哈密顿图: 具有哈密顿回路的图. 说明： 哈密顿通路是初级通路 哈密顿回路是初级回路 有哈密顿通路不一定有哈密顿回路 环与平行边不影响图的哈密顿性 哈密顿图的必要条件 定理6.10 若无向图G=V,E是哈密顿图, 则对于V的任意 非空真子集V1均有 p(G?V1)?|V1|. 证 设C为G中一条哈密顿回路, 有p(C?V1) ? |V1|. 又因为 C?G, 故 p(G?V1) ? p(C?V1) ? |V1|. 例如 当r≠s时, Kr,s不是哈密顿图 推论 有割点的图不是哈密顿图 实例 例2 证明下述各图不是哈密顿图: 实例 例3 证明右图不是哈密顿图 存在哈密顿回路(通路)的充分条件 定理6.11 设G是n(n?3)阶无向简单图, 若任意两个不相邻 的顶点的度数之和大于等于n?1, 则G中存在哈密顿通路; 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中 存在哈密顿回路, 即G为哈密顿图. 推论 设G是n(n?3)阶无向简单图, 若?(G)?n/2, 则G是哈密 顿图 当n?3时, Kn是哈密顿图; 当r=s?2时, Kr,s是哈密顿图. 定理6,12 设D是n(n?2)阶有向图, 若略去所有边的方向后 所得无向图中含子图Kn, 则D中有哈密顿通路. 应用 例4 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利 语, F会讲法语、日语和俄语, G会