圆锥曲线专题二doc.doc

圆锥曲线专题二 高二文数探究与欣赏 专题一巩固练习已知向量, 向量, 且, 动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; 解:（1）因为,, , 所以, 所以，轨迹E的方程为：. w …………… 4分 (2).设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, ……………………… 6分 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即 即，恒成立. ……………………… 10分 又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B, 且. …………… 14分 1.过抛物线上一点P（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）． 直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，（1）求的值，（2）证明直线AB的斜率是非零常数. 解：（1）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为 由，故. 同理可得. 由PA，PB倾斜角互补知, 即, 所以，. ……………………… 8分 （2）设直线AB的斜率为由， 所以（常数）. …………… 2.已知，椭圆C经过点A（1，），两个焦点为（-1，0）（1，0）。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 (22)解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得=3，＝（舍去）。 所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　　……4分 （Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得 设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以 ， 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ， 。 所以直线EF的斜率。 即直线EF的斜率为定值，其值为。 　　 ……12分 3.已知椭圆＋＝1(ab0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值． 解　(1)由e＝＝，得3a2＝4c2. 再由c2＝a2－b2，得a＝2b. 由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 解方程组得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.(4分) (2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)． 于是A，B两点的坐标满足方程组 由方程组消去y并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 由根与系数的关系，得－2x1＝， 所以x1＝，从而y1＝. 设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－，)．(6分) 以下分两种情况讨论： 当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)． 由·＝4，得y0＝±2.(8分) 当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为 y－＝－(x＋)．令x＝0，解得y0＝－. 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)， ·＝－2x1－y0(y1－y0) ＝＋(＋) ＝＝4，整理得7k2＝2，故k＝±. 所以y0＝±.(11分) 综上，y0＝±2或y0＝±.(12分)