V(六章1讲)非简定态微扰.pptxVIP

量子力学与统计物理Quantum mechanics and statistical physics光电信息学院 李小飞第六章：微扰理论微扰理论在物理学中的地位单体问题：一个物体在固定的中心力场中运动…二体问题：两物体之间的相互作用使它们都绕质心运动，　　大的慢些，小的快些…微扰问题：如果在二体体系中增加一个物体，构成的是　多体物理体系如果第三个物体对前面二体体系的影响较小，可采用微扰方法处理多体问题：如果三个物体的影响都不能当作微扰来对待，　就是多体问题，一般采用变分法，平均场近似　等方法处理大数目问题：体系中物体数目众多，这时呈现出的规律性　如：凝聚、超导、超流、暗物质？暗能量？等， 体现的是统计规律性，用统计方法处理。（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题1.定态微扰论； 2.变分法。（2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题1.与时间 t 有关的微扰理论；2.常微扰。 在实际的多体微观体系，哈密顿算符是复杂的，能精确求解的薛定谔方程的情况是极其少的。因此近似求解薛定谔方程是量子力学走向实际应用的关键两类近似求解法第一讲：非简并定态微扰理论 非线性谐振子一. 微扰体系的S-方程 通常，我们把可精确求解的理想体系叫做未微扰体系，把待求解的实际体系叫做微扰体系。　经典物理处理实际问题，也常使用微扰方法。 例如，地球的轨道问题。地球受万有引力作用绕太阳做圆周运动，但是地球同时还受到来自月球的作用。其轨道不可能是一个标准的圆，需要予以修正。方法是：（1）先把太阳和地球作为二体系统，求出地球轨道；（2）然后研究这个轨道受到的来自月球（其他行星？）的影响，实现对轨道的修正。　量子体系也一样。比如氢原子中的电子，主要受到来自原子核的库仑力的作用，是二体问题。但它同时还受到背景场（如电磁环境等）的影响。因此，前面通过二体方法得到的结果也需要修正。 所描述的是理想体系部分，可以精确求解，其非简并本征值 ，本征矢 满足本征方程：其中λ是参数，表征微扰的大小程度 假如：实际体系的Hamilton 量不显含时间(定态)，并且可分为两部分： 另一部分表示其他因素的影响，相对于　　来说是很小的，因此，可以被看作是加在上的微扰。 为了确切显表示出微扰的微小程度，将其写为代入实际体系的 S-方程分别对上式两边展开计算… 实际体系的 En 、 |ψn 都与微扰有关，形式上可以把它们看成是λ 的函数而将其展开成 λ 的级数： 按λ的幂进行整理： 对于λ来说，等式两边同幂次的系数应相等，得： 第一式就是 的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1) 和|ψn (2)所满足的方程，由此可解得能量和波函数的第一、二级修正。得方程组：0级修正方程一级修正方程二级修正方程 引入 只是为了便于对微扰分级, 是数学工具而已, 因此可略去…二 . 一级修正 借助于理想体系的态矢|ψn (0)和本征能量 E n (0) 可导出实际体系的态矢|ψn 和能量 En 的表达式。1. 求能级的一级修正 E n (1)上式左边上式右边2. 求波函数的一级修正 本征矢|ψn (0)是完备的，任一态矢量都可按其展开，|ψn (1) 也不例外。由一次方程可知若 是方程的解, 则 也是方程的解.合理的选择a 的值,使得 |ψn (1) 的展开式中不含有 |ψn (0) 也就是说零级近似波函数和一级近似波函数是正交的, ψn (0)|ψn (1) =0将 |ψn (1) 的新展开式代入一级修正方程，得两边左乘 ψm (0) |, （m不等于n） 代回原展开式，得第级近似波函数 因此准确到一级修正时,体系的能级和波函为三 . 二级修正 将所得的 |ψn (1) 代入如上二级修正方程的右边上式左边上式右边得能量的二级修正：得二级修正后体系的能量 同样，由二级修正方程可得波函数的二级修正。并且，依次可以求得更高次的修正。四. 对修正公式的理解综上所述, 在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：能级的一级修正是微扰在对应本征态上的平均值能级的二级修正是微扰在影响其他本征能级的同时，对当前能级所带来的二级影响各能级对本能级的二级影响与能级间距成反比，即只有附近的能级对本能级有较大地影响。微扰体系的本征波函数是理想体系的线性组合，但同级波函数成分最多，其他各级所占成分与微扰大小成正比与能级间距成反比。五. 适用条件 修正公式具有级数形式，欲使其有意义，要求级数收敛。但由于不知道级数的一般项，只能要求级数的已知项中，后面一项要远小于前面一项才行。得微扰理论适用条件：由微扰适用条件公式，可知：（1）|H’mn| = | ψm(0) | H’ |