3-1 矩阵初等变换.pptVIP

上页 下页 目录 如， 有效方程个数=未知量个数 唯一解 有效方程个数未知量个数 无穷多组解 有矛盾方程 无解 上页 下页 目录 例 1 求解非齐次线性方程组 解 写出增广矩阵 (A,b)，并化为行阶梯形矩阵： 上页 下页 目录 (行阶梯形矩阵) 上页 下页 目录 将行阶梯形矩阵进一步化为行最简形矩阵： (行最简形矩阵) (行阶梯型矩阵) 上页 下页 目录 对应的方程组是 令自由未知量 x3=k， 通解 以 x1, x2, x4 为基本未知量， 得 (k为任意常数) 上页 下页 目录 例 2 求解非齐次线性方程组 解 初等行变换 (过程略) 第三行对应矛盾式 0=3 ， (容易看出：在原方程组中，方程③的左端等于方程①②左端之和，而右端不等于方程①②右端之和，即存在矛盾方程) 故原方程组无解. 上页 下页 目录 Ax=O 的常数项全等于 0，即增广矩阵为 (A,O). 因此，齐次线性方程组总是有解. ? 齐次线性方程组 Am?nx=O 从而，在相应的行最简形矩阵 (C, d) 中，d=O. d1 = d2 = … = dr+1 = 0 (至少有一个零解，即x1 = x2 = … = xn = 0) 若 rn，则 Ax=O 有非零解(无穷多解) 由于 Am?nx=O 的常数项全为零，求解时只需要对系数矩阵 A 进行初等行变换. 若 r=n，则 Ax=O 只有零解(唯一解) 上页 下页 目录 有效方程个数=未知量个数 有效方程个数未知量个数 有非零解 (无穷多解) 如， 只有零解 (唯一解) 根据系数矩阵 A 的行阶梯形或行最简形，可以判断 Ax=O 的解的情况. Ax=O 有非零解 rn； Ax=O 只有零解 r=n； 上页 下页 目录 例 3 求解齐次线性方程组 解 将方程组的系数矩阵 A 化为行阶梯形矩阵： 初等行变换 (过程略) 上页 下页 目录 对应的同解方程组是 以 x1, x3, x4 为基本未知量, 令自由未知量 x2=k1，x5=k2， 得 故 (k1, k2为任意常数) 上页 下页 ㈢ 矩阵的等价关系 目录 * * * * 第一节 矩阵的初等变换 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 ㈡ 矩阵的初等变换 ? 小结 思考题 作业 ㈠ 高斯消元法 (方程组的初等变换) ㈢ 矩阵的等价关系 目录 上页 下页 ㈠ 高斯消元法 (方程组的初等变换) 上页 下页 目录 线性方程组 其矩阵表达式为 简记：Ax = b 或 Am?n x = b. 若为齐次线性方程组，则记作 Ax = O 或 Am?n x = O. 上页 下页 目录 引例 求解线性方程组 线性方程组 Am?n = b 的一般解法是高斯消元法. 高斯消元法：将线性方程组消元变形，化为容易求解的同解方程组. 其步骤规范、简便. 上页 下页 目录 上页 下页 目录 阶梯形方程组 上页 下页 目录 注1 阶梯形方程组中有一个恒等式 0 = 0，这表明原方程组中有一个多余方程. 故，满足①②的解必满足③，方程组有多余方程. 如果阶梯形方程组中出现矛盾式(如 0=2)，则表明原方程组中存在矛盾方程，此时方程组是无解的. [方程①?2] + [方程②?(－1)] = [方程③] 原方程组: 含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组. 有解的方程组称为相容方程组. 利用高斯消元法将方程组化为阶梯形，可直观地看出原方程组是否有多余方程或矛盾方程. 上页 下页 目录 注2 阶梯形方程组的形式不是唯一的. 但是，其中的台阶数(有效方程数)是确定的. 例如， ②+③ ③?(-1/3) 上面的解也可等价地写成： ( x1可任意取值) 上页 下页 目录 用“回代法”求阶梯形方程组的解， ( x2可任意取值) 自由未知量 基本未知量 可见自由未知量的选择不是唯一的. 上页 下页 目录 以 x2 为自由未知量，并令 x2=k， (其中 k 为任意常数) 则方程组的通解(一般解)可写成 (其中 k 为任意常数) 如果选择 x1作为自由未知量，并令 x1=k，则 注3 当方程组有解(即没有矛盾方程)时， ① 若有效方程数 未知量个数 ，则必有自由未知量, 此时方程组有无穷多个解. 上页 下页 目录 ② 若未知量个数=有效方程数，则方程组有唯一解. 但自由未知量的个 数是唯一确定的(= 未知量个数 - 有效方程个数) 自由未知量的选择不是唯一的， 因此，通解的表达式不是唯一的，但所含任意常 数的个数是相同的. 此外，能够证明，不同形式的解集合是相等的. 上页 下页 目录 上述求解过程表