05-函极限概念.pptVIP

第四讲：函数的极限与性质 三. 极限定义及定理小结 四. 函数极限的基本性质 的图形可以看出: 如何描述它？ 定义 想想：如何从几何的角度来表示该定义？ 定义 定义 又包含了 x  的情形. 注意: x 按绝对值无限增大时, 既包含了 x +, 及极限的三个定义即可证明该定理. 由绝对值关系式: 证 成立. 由极限的定义可知: 无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 下面证明我们的猜想: 证明过程怎么写？ 这里想得通吗？ 由图容易看出： 分析 需要证明之处 请同学们 自己先证一下. f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义. 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义. 定义 证 这是证明吗？ 证毕 在极限定义中： 1)  与  和 x0 有关, 即  =  ( , x0). 一般说来,  值越小, 相应的  值也越小. 2) 不等式 | f (x)－a |  既要对任意的  0 , 同 时也要对 x  x0 以任何方式进行都成立. 3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a. y = a   y = a   y = a x O y x0 x0   x0 +  曲线只能从该矩形的左右两边穿过 3.函数的左、右极限 (1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等； (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一： y = f (x) x O y 1 1 在 x = 1 处的左、右极限. 对此有什么想法没有？ “左右重合” 利用 | x  x0 |    x  x0  和极限的定义, 即可证得. 三、极限定义及定理小结 1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界. 2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一. 3.保号性定理 四、函数极限的基本性质 该定理也称为第一保号性定理 该定理也称为第二保号性定理