第9章 振动与波动 §91简谐振动 简谐振动的基本特征 1在平衡位置附近.docVIP

第9章 振动和波动 §9.1简谐振动 简谐振动的基本特征 1.在平衡位置附近来回振动。 2.受回复力作用 例：弹簧的振动 特点：1.弹簧质量不计2.所有弹力都集中在弹簧上3.质量集中于物体上4.不计摩擦 建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处 振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。 回复力： 一维振动 令有简谐振动微分方程 解微分方程 其中A为振幅，(为圆频率，(为初相位。 圆频率 单位：rad/s 只与弹簧振子性质有关 1、振动速度 2、振动加速度 速度与加速度也都是周期变化的。 3、振动曲线 描述简谐振动的特征量 1、振幅A 物体离开平衡位置的最大距离单位：米，m 2、周期 T 物体完成一次全振动所用的时间单位：秒，s 3、频率 1秒内物体完成全振动的次数单位：赫兹，Hz 4、相位与初相 由 相位： 初相位： 5、振幅与初相的确定 初始条件 由 有 有 简谐振动的能量 简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交替变化。 谐振动的动能 2、谐振动的势能 Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。 3、谐振动的能量 机械能守恒，谐振过程保守力作功 谐振能量与振幅的平方成正比。  §9.2简谐振动的叠加 两同方向、同频率、有恒定相位差的谐振动合成 质点同时参与两个振动，只研究两个同方向同频率的振动合成。 分振动 振动合成 利用旋转矢量法求合振动 合成后仍为谐振动，角速度不变 注意几点 ①当时 合振动振幅最大 若 ②当时 合振动振幅最小 若 例：两同方向、同频率谐振动合成， 求：合成谐振动方程 解：合成后(不变， 合振动方程 两同方向、不同频率谐振动合成 这种振动的合成一般比较复杂，这里只讨论 两谐振动的频率比较大 两谐振动的频率相差比较小 振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的现象----“拍”。 设 合成后 合振动不是谐振动 振幅 讨论 1.振幅是周期变化的， 很小，振幅A（t）随时间t缓慢地变化----“拍”现象，最大值为 2A。 2.合振幅变化频率------“拍频”。 由于余弦函数绝对值的周期为 拍频 由于 A的变化缓慢 三、相互垂直、同频率谐振动的合成 分振动 (1)、(2)式消 t 消第1项 (5) 消第2项 (6) 有合振动为椭圆轨迹方程 ?合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆。 ?椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋 ) 在 A1 、A2确定之后, 主要决定于 讨论：①，同相位，为直线方程 ②反相位 ③标准椭圆方程 当，为圆方程 四、相互垂直、不同频率谐振动的合成 1.两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而 D( 随 t 缓慢变化,合运动轨迹将按下图依次缓慢变化 2.两振动的频率成整数比轨迹称为李萨如图形  §9.3阻尼振动、受迫振动和共振 一、.阻尼振动 实际振动过程存在着阻力，在流体中的阻力称为粘滞力。 ?当物体低速运动时，阻力 弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。 ?当物体高速运动时，阻力 子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正比反向。 1. 阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 阻尼振动微分方程 令 为阻尼因子 令 为固有频率 为二阶常系数齐次微分方程 通解 2.两种阻尼振动 、欠阻尼振动------阻尼很小 为虚数，令 通解 可写成 A 与 ( 由初始条件确定。 振幅项随时间衰减 周期因子 振动周期 无阻尼时 有阻尼时，周期慢长。 .过阻尼振动------阻尼很大 通解 两项都衰减，不是周期振动。 如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。 不能往复运动 （三）.临界阻尼振动 通解衰减函数 临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。 三种阻尼振动比较 二、.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力------策动力。 1.受迫振动方程 簧受弹性力 弹阻尼力 策动力 令 受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解： 第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。 第二项为策动力产生的周期振动。 开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作受迫振动，振动频率为策动力的频率。 振幅 初相 2.讨论 振幅A是(p的函数 三、共振 由于A是(p的函数，最大A时的(p为共振 时 有极大值。 当，时A最大。 当阻尼很小，策动力频率等于固有频率时振幅最大------共振。 §9.4关于波动的基本概念 一、波的产生和传播 机械振动在弹性介质中传播形成机械波 1、波动的特点 ①各质点只在各自的平衡位置附近振动； ②质点振动频率相同，只是初相不同； ③振源完成一个全振动，完成一个完