第二讲 奇偶分析.docVIP

奇数与偶数 整数可以分成两大类。能被2整除的数叫做偶数，一般表示为2n(n为整数)，不能被2整除的数叫做奇数，一般表示为2n＋1(n为整数)。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。其运算性质有以下几种： (1) 奇数奇数=偶数 奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数 (2)两个数之和与这两个数之差，有着相同的奇偶性。 (3)多个数相加时，和的奇偶性由奇数的个数决定。加数中有奇数个奇数时，和是奇数。加数中有偶数个奇数时，和是偶数。 (4)多个数相乘时，只要有一个数是偶数，积即为偶数。 (5)奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。 (6)相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数。 〖经典例题〗 例1、1＋2＋3＋4＋…＋2004＋2005是奇数还是偶数？ 例2、能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44. 〖巩固练习〗 练习1：能不能在下式： 1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？ 练习2：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？ 练习3：2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是多少？ 练习4：有3个不同的自然数组成一等式： □＋△＋○=□×△－○ 这三个数中最多有几个奇数？ 练习5：能否从2、6、10、14、18、22、26、30这8个数中选出3个数来，使它们的和为48？ 〖经典例题〗 例3、把1～99这99个自然数的顺序打乱后重新排列，并把新排列的每个数依次加上1，2，3，…，99.问最后得到的99个数之积是奇数还是偶数？ 例4、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，试证新数与原数之和不能等于999。 〖巩固练习〗 练习1：100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有几个偶数？ 练习2：1987个球，无论多少人采用什么样的分法，最终每个人都分得奇数个球的人数和不可能是偶数，问什么？ 练习3:右图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分. 已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是 练习4：已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证：a－1，b－2，c－3的乘积一定是偶数。 练习5：用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组： a×b×c×d－a=1991 a×b×c×d－b=1993 a×b×c×d－c=1995 a×b×c×d－d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。 练习6：如下图1，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数(以米为单位)，这是为什么？ 练习7: 能不能把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这十个数字排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，……，两个5之间夹着5个数？ 练习8：把任意6个整数分别填入下图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。 〖经典例题〗 例5、某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 例6、a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？ 〖巩固练习〗 练习1：一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得23分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了几道题？ 练习2：一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有 页,撕掉的是第 页和第 页. 练习3：有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有 支. 练习4：元旦前夕，同学们互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？ 〖经典例题〗 例7、假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动“n－1”个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。 〖巩固练习〗 练习1：现有1999