立体几何过关练习题.docxVIP

立体几何过关练习一、知识点1、若，则向量（或）是的一个法向量。2、已知，，则（终―始）；3、已知，，则，，4、空间向量的夹角记作，二、本模块知识要求1、能正确建立空间直角坐标系并正确的找到点的坐标；2、会算平面的法向量；三、过关练习5．如图，正方体中，下面结论错误的是（ ）A. 平面B. 平面C. 异面直线与所成的角为45°D. 与平面所成的角为30°4．在正方体中分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为3．在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（）6．如图，在三棱锥中，、分别、的中点，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；（3）求点到平面的距离.7．如图，在多面体，底面是菱形，，平面， ，，，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.8．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，,，点是线段的中点.（1）求证：面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.9．如图，三棱柱中，，，平面，分别是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.10．在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.11．如图，直三棱柱中，、分别是,的中点，已知与平面所成的角为，.（1）证明：∥平面；（2）求二面角的正弦值.参考答案1．C【解析】连接和，在正方体中，，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，设，在等边三角形中，，即异面直线与所成的角为，故选C。2．C【解析】如图所示,设分别为和的中点，则夹角为和夹角或其补角(因异面直线所成角为，可知，；作中点Q，则为直角三角形；∵，中，由余弦定理得，∴，∴；在中,；在中，由余弦定理得又异面直线所成角的范围是，∴与所成角的余弦值为故选C.点睛：求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.3．B【解析】由题知，平面，而平面，，又，平面，在中，，则，在中，，则，过点作，且，连接，，，故平面，，因此为直线与直线所成的角，又，，故选B.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.4．D【解析】设正方体的棱长为2，取CD中点G,连接，则所以为异面直线与所成角，且，又在中，，，由余弦定理.异面直线与所成角的余弦值为.故选D.5．D【解析】//,所以//平面；因为//,所以异面直线与所成的角为 45°;因为，所以平面;与平面所成的角为30°,选D.6．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由已知条件得出，由计算得出，得出，再由线面垂直的判定定理得出平面；（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出的坐标，求出的值为，得出结果；（3）求出平面ABC的一个法向量，由点到平面的距离公式算出结果。试题解析：（1）连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，在△AOC中，由题设知 AO=，,AC= ，∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，∵AO⊥BD，BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD； （2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0），, ， ，∴异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为 .（3）解：由（2）知： ,.设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，1，）又，∴点D到平面ABC的距离.7．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：⑴作交于，交于，连接，，，易推出四边形是平行四边形，得出，在推出，，，⑵建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，然后利用公式计算出结果解析：(Ⅰ)证明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，连接EF，BD，AC.由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，所以四边形MEFN是平行四边形，所以MN∥EF，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，因为PA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A，所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，则C(