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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 当矢量与张量点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘，运算结果为一个矢量。即 张量与矢量的乘积 矢量与张量的标积 显然，矢量与张量的标积不满足交换律，即 张量运算——张量代数 当矢量与张量矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。即 矢量与张量的矢积 同样，矢量与张量的矢积也不满足交换律，即 张量运算——张量代数 单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。即 单位张量与矢量的标积 显然，任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律，即 张量运算——张量代数 当一个张量与另一个张量点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其运算结果为一个新的张量。即 张量与张量的乘积 张量与张量的点积 当一个张量与另一个张量二次点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。即 张量与张量的双点积 张量运算——张量代数 张量分析 张量的散度和旋度 若空间中每一点都有一个张量与之对应，则这部分空间称为张量场。 在直角坐标系中，张量的散度为 张量的散度 张量运算——张量分析 在直角坐标系中，张量的旋度为 张量的旋度 张量运算——张量分析 矢量的梯度 在直角坐标系中，矢量的梯度为 此外，还规定算符 张量运算——张量分析 张量运算公式 * (1) * (2) * (3) 利用上述各式可得下列是一些实用的张量分析公式： 张量运算——张量分析 张量的积分变换式 * (1) 对于张量或并矢，下列一些积分变换公式成立： * (2) * (3) 张量运算——张量分析 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 电动力学A 主讲人: 房晓勇 绪论——矢量分析与张量运算 绪论 矢量分析与张量运算 矢量分析 矢量代数 标量积 两个矢量的标量积是一个标量，其数值为 在直角坐标系中，两个矢量的标积为 矢量积 两个矢量的矢量积是一个矢量，其数值为 方向垂直两个矢量构成的平面，为右手螺旋系。在直角坐标系中，两个矢量的矢积为 两个矢量的矢量积不符合乘法的交换律。 矢量分析——矢量代数 混合积 三个矢量的混合积是一个标量，其数值是以三个矢量为基矢的平行六面体的体积。 在直角坐标系中，三个矢量的混合积为 三个矢量的混合积符合下列交换律 矢量分析——矢量代数 三矢量的矢积 三个矢量的矢量积是一个矢量，可以表示为 或者写成 矢量分析——矢量代数 例题1：证明三矢量积公式 矢量分析——矢量代数 梯度 散度 旋度 标量场的梯度 一个标量场φ(x,y,z)的梯度定义为 标量场的梯度是一个矢量，其中的矢量算符在不同的坐标系中具有不同的形式。在直角坐标系中，通常将矢量算符写成 矢量分析——梯度、散度、旋度 柱坐标系的梯度表示 在柱坐标系中，标量场φ(r,θ, z)的梯度可以表示为 球坐标系的梯度表示 在球坐标系中，标量场φ(r,θ,φ)的梯度可以表示为 矢量分析——梯度、散度、旋度 矢量场的散度 一个矢量场f (x,y,z)在某点处的散度定义为 矢量场的散度是一个标量，它标志在矢量空间范围内某点矢量线的发散或收缩情况。 在不同的坐标系中，矢量场的散度具有不同的形式。在直角坐标系中，矢量的散度可以写成 矢量分析——梯度、散度、旋度 柱坐标系的散度表示 在柱坐标系中，矢量场f (r,θ, z)的散度可以表示为 球坐标系的散度表示 在球坐标系中，矢量场f (r,θ,φ)的散度可以表示为 矢量分析——梯度、散度、旋度 矢量场的旋度 一个矢量场f (x,y,z)在某点处的旋度沿闭合曲线所围平面法线方向的分量被定义为 或者表示为 矢量分析——梯度、散度、旋度 在不同的坐标系中，矢量场的旋度具有不同的形式。在直角